НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 652.72

НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования, ИрГУПС,
г. Иркутск

eliseev_s@inbox.ru

Введение. В динамике машин вопросам влияния вибраций на обеспечение надежности и безопасности рабочих процессов и созданию условий для операторов уделяется значительное внимание [1, 2], Известны и достаточно широко применяются различные методы построения математические, в том числе на основе мехатронных интерпретаций [3], что создает предпосылки для обобщенных подходов в задачах поиска и разработки соответствующих способов и средств управления динамическим состоянием механических колебательных систем. В этом плане динамические гасители колебаний, как некоторые дополнительные устройства, вводимые в исходные расчетные схемы виброзащитных систем, могут рассматриваться как одно из средств управления состоянием объекта защиты.

I. Рассмотрим динамический гаситель колебаний в составе виброзащитной системы, обеспечивающей защиту объекта от вибраций со стороны основания и сочленение в m.А [4]. На рис. 1 а, б, где приняты следующие обозначения: P(t) - внешнее силовое возмущение; z(t) - внешнее кинематическое возмущение; m₁ - масса объекта защиты; m₂ и m₃ - массы настраиваемых элементов; k₁, k­₂, k₃ - коэффициенты жесткости упругих элементов; φ - угол поворота рычага относительно объекта защиты; l₁, l₂ - длины плеч рычага; y­₁, y₂, y₃ - координаты массоинерционных элементов в абсолютном движении. Предполагается, что колебательные движения в системе относительно положения равновесия достаточно малы, что позволяет использовать упрощенные линейные представления; считается также, что силы трения малы.

II. Постановка задачи. Упрощенный подход. Целью исследования является изучение возможностей создавать в системе режимы динамического гашения, которые могут регулироваться настроечными параметрами, такими как длины плеч рычага и величины масс элементов m₂ и m₃. Конструктивные варианты построения систем изменения названных параметров представляются вполне реализуемыми, также как и схемы сбора и обработки информации о динамическом состоянии системы. Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий

 ,                                                        (1)

.                     (2)

Введем ряд соотношений между координатами , , где учтены особенности рычага второго рода в отношении изменения входного сигнала и по величине и по направлению. Будем полагать, что элементы m₂ и m₃ имеют вертикальное движения, а изгиб рычага в первом приближении, не принимается во внимание (хотя это не так и конфигурация расположения l­₁ и l₂ имеет значение). С учетом связи между координатами y₁, y₂, y₃ и φ выражения (1) и (2) можно записать в виде

,                               (3)

.                                                (4)

Используя обобщенное уравнение Лагранжа 2 рода, получим уравнения движения системы

                                       (5)

                                       (6)

Структурная схема эквивалентной системы автоматического управления (САУ) показана на рис. 1б; из ее анализа следует, что между парциальными системами существует упругая связь, которая при выполнении условий симметрии может «обнуляться» и сделать движения парциальных систем независимыми.

Найдем передаточную функцию системы при кинематическом возмущении

                       (7)

Из выражения (7) можно найти частоту динамического гашения при кинематическом возмущении

,                                            (8)

где i = l₂/l₁ - передаточное отношение рычага второго рода (знак учтен при составлении выражения для потенциальной энергии). Частота собственных колебаний системы может быть найдена из характеристического уравнения

              (9)

III. Введение дополнительных связей. С целью расширения возможностей изменения динамического состояния в систему можно ввести дополнительные связи в виде элементарных звеньев двойного дифференцирования, как показано на рис. 2 а, б. Расчетная схема (рис. 2а) имеет также устройства с передаточными функциями L₁p² ÷ L₃p² во всех задачах [1].  

В этом случае выражения для кинетической энергии примет вид

               (10)

а потенциальная энергия определится из выражения (2).

Учитывая соотношения (3) , запишем выражение для кинетической энергии системы

                         (11)

Система дифференциальных уравнений движения примет вид

               (12)

Структурная схема эквивалентной САУ приведена на рис. 2 б.; из структурной схемы следует, что введение устройств с преобразованием движения L₁, L₂, L₃ изменяют свойства системы: L₁ влияет на характер внешнего воздействия, а система приобретает дополнительный режим динамического гашения и «запирание» на высоких частотах; введение L₂ и L₃ – снижают частоты собственных колебаний парциальных систем.

Передаточная функция системы при кинематическом возмущении системы имеет вид:

   (13)

Для исследования преобразуем (13) и получим:

(13')

где i = l₂/l₁ – отношение плеч рычага второго рода. Введем ряд обозначений: пусть

,,, тогда – числитель (13) .

_{Исследуем характеристическое уравнение передаточной функции (13')}

_{откуда найдем частоты собственных колебаний}

         (13'')

Если  то разность будет иметь вид , где R – положительный остаток, то есть всегда выполняется ∆ > 0. Если подкоренное выражение (13'') будет равно нулю, то частоты собственных колебаний совпадают и АЧХ системы будут иметь вид, характерный для систем с одной степенью свободы. Из выражения (13') следует, что возможен режим когда   , что выполняется при , тогда  условие совпадения частот динамического гашения  имеет вид:

     (13''')

или     .        (14)

При выполнении i → ∞ получим предельные соотношения; при этом между значениями параметров должны выполнятся соотношения:

,                          (15)

.                    (16)

В свою очередь, при i → 0 получим

,                        (17)

.                (18)

Если выполняется условия (13''') и (14), то система с двумя степенями свободы будет иметь вид АЧХ, как показано на рис. 5, то есть будет  ввести себя как система с одной степенью свободы. Расчетным путем могут быть найдены значения L₁ (14), соответствующие графикам на рис. 3 при , , , , , , ,  

В таблице 1 представлены соответствующие значения частот собственных колебаний и динамического гашения. Для оценки динамических свойств системы передаточная функция, которой представлена выражением (13') при параметрах модельной задачи , , , , , , ,  

Таблица 1

Значения частот собственных колебаний и динамического гашения                 

На рис. 4 приведена диаграмма поведения частот динамического гашения и собственных колебаний. В общем случае, учитывая  одинаковый порядок частотных уравнений числителя и знаменателя (13'), можно полагать в зависимости от значений параметров, в частности , что соотношения между частотами, а также формы АЧХ системы, будут изменяться существенным образом.

На рис. 5 показано, что при изменении  возможны характеристики с двумя режимами динамического гашения и двумя резонансами. Однако, в системе возможны случаи совпадения частот динамического гашения между собой, а также совпадение  с частотами собственных колебаний. Для расчетов использовались средства программного пакета  Matchad 11. В области высоких частот происходит «запирание» системы. Значение коэффициента передачи амплитуды колебаний при увеличении частоты определяется из выражения (13') при условии, что . Если обозначить эту величину через  (бесконечность), то значения этого параметра будут зависеть от . На рис. 5 приведена соответствующая информация на вариантах а, б, в, г, д, е, ж. Особенностью амплитудно-частотных характеристик на рис. 5 в ее различных вариантах является то обстоятельство, что система с двумя степенями свободы практически ведет себя как система с одной степенью свободы, что обеспечивается определенными значениями приведенной массо-инерционной характеристики, находимой из выражения (14).  Близость резонансных частот создает зону неустойчивых движений повышенного уровня, за пределами которой система имеет вид АЧХ с одной степенью свободы. В качестве изменяемого параметра было, в частности, выбрано передаточное отношение плеч рычажной связи . В модельном примере соответствует ,  соответствует , соответствует (рис. 5).  Для АЧХ характерны два  участка, на которых коэффициент передачи амплитуды колебаний равен 1 в диапазоне частот . В диапазоне частот  коэффициент передачи амплитуды колебаний меньше единицы, что определяет возможное направление использования системы в задачах виброзащиты. 

IV. Особенности динамических свойств. Характер внешнего воздействия на объект защиты имеет важное значение, поскольку изменяется система динамических связей. Рассмотрим систему, состоящую из двух массоинерционных элементов и, разнесенных с помощью Г-образного рычага с плечами  и , как показано на рис. 6. Такая расчетная схема может быть отнесена к одному из двух массоинерционных элементов и , разнесенных с помощью Г-образного рычага с плечами  и , как показано на рис. 6. Такая расчетная схема может быть отнесена к одному из вариантов вышерассмотренного динамического гасителя при условии, что такой гаситель может либо прикрепляться, либо сниматься с объекта защиты.

Конструктивное использование такого присоединения может быть построено на использовании магнитной подставки. Кинетическая и потенциальная энергия системы (рис. 2)  может быть записана в виде

                                  (19)

Используя соотношение , где  и представляет собой отношение плеч рычага при малых углах  и без учета наклона стержней, запишем дифференциальное уравнение движения системы

                       (20)

Структурная схема системы приведена на рис. 6б, откуда может быть найдена частота собственных колебаний

.                                                     (21)

Из структурной схемы на рис. 6б можно заметить, что внешние воздействия образуют систему, в которой внешние воздействия в силу конструктивных особенностей может действовать в противофазе и создавать нулевое воздействие на любой частоте при  при .  Кроме того при  для внешнего воздействия  создается условие «блокирования». Что касается режимов динамического гашения и собственных частот, то необходимо принять во внимание соотношения параметров внешнего кинематического возмущения. Так, например, если , то частота динамического гашения определится по формуле

.                                                     (21′)

Полагая, что режимы динамического гашения связаны с оценкой числителя передаточной функции, получаемой из структурной схемы на рис. 6б, представим возможные варианты в таблице 2.

Таблица 2

Виды передаточных функций при различных видах внешних возмущениях

Анализ данных, приведенных в таблице 2, позволяет сделать заключение о том, что режимы динамического гашения встречаются достаточно часто, однако, их появление зависит от особенности конструктивного оформления виброзащитной системы и особенностей системы внешних воздействий.

Заключение. Если в виброзащитную систему (рис.3) ввести дополнительные связи  и , то есть элементарные звенья с передаточными функциям дифференцирования второго рода, то дифференциальное уравнение движения примет вид

                        (22)

Возможный спектр ситуаций, в которых, так или иначе, отражаются свойства режимов динамического гашения, можно оценить, используя уравнение (22). Так, например, при z₃ = z₁ = z₂ = z, получим, что

.                                               (23)

Отличие выражения (22) от (23) заключается в том, что режим динамического гашения определяется параметрами L₁ и L₂ устройств для преобразования движения, что расширяет возможности соответствующей настройки виброзащитных систем. Введение сочленений может существенным образом изменять вид амплитудно-частотных характеристик, в том числе обеспечить несколько режимов динамического гашения, включая режимы динамического гашения, выбираемые в дорезонансной области.

Библиографический список

1.      Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засядко А.А.  Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. – Иркутск: Изд-во Ирк. гос. ун-та, 2008. – 523 с.

2.      Галиев И.И., Нехаев В.А., Николаев В.А.  Методы и средства виброзащиты железнодорожных экипажей. – М.: ГОУ «Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте», 2010. – 340 с.

3.      Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Мехатронные подходы в динамике упругих колебательных систем. – Новосибирск: Наука. 2010. – 436 с.

4.      Елисеев С.В. Возможности сочленения твердых тел в цепных механических системах / С.В. Елисеев, Ю.В. Ермошенко, И.В.Фомина // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование – Иркутск: ИрГУПС, ╧3 (27). – 2010. – С. 146 – 152.