НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 62.752

НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования

Иркутский государственный университет путей сообщения

eliseev_s@inbox.ru

ВВЕДЕНИЕ

Вопросам динамики виброзащитных систем в их разнообразных формах конструктивно-технического исполнения посвящено достаточно много работ [1-3]. Как правило, в составе механических колебательных систем используются традиционные элементы в виде пружин, демпферов и твердых тел. Вместе с тем, в последние годы активно используются для получения  различных динамических свойств и другие элементы, позволяющие ввести в рассмотрение динамические эффекты в преобразованиях относительного движения, а также различные рычажные связи и механизмы [4-6].

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

В статье рассматриваются возможности учета в динамике транспортных подвесок рычажных связей, которые реализуются специально вводимыми механизмами. Предлагаемая подвеска, точнее, ее модель,  состоит (рис. 1) из объекта защиты массой M с моментом инерции I. Центр тяжести твердого тела расположен в т. А; в системе  подвески задействованы два рычага с массами m₁ и m₂; их моменты инерции относительно т. А обозначаются соответственно через I₁ и I₂. К такой схеме приводится, например, тележка локомотива с двумя тяговыми двигателями [5]; центры тяжести рычагов A₁, B₁ и A₂, B₂ обозначены соответственно точками O₁ и O₂.

На рис. 1 звено с передаточной функцией W₀ представляет собой дополнительную связь. В простейшем виде она может быть реализована упругим элементом с жесткостью k₃ или другим звеном [7]. Предполагается, что силы малы и оказывают малое влияние на динамику системы. Положение центров тяжести определяется соответствующими длинами отрезков l₁-l₆. Между точками B₁ и B₂ рычагов действует элемент с передаточной функцией W. Координаты y₁ и y₂ взяты в неподвижной системе координат. Предполагается также, что в точках A₁ и A₂ допускаются горизонтальные скольжения, что обеспечивает возможность вертикального движения центра тяжести объекта защиты (точка A). Для дальнейших расчетов примем, что

                                    (1)

В определении кинетической энергии системы на рис. 1 можно использовать теорему Кенига [8]. Учитывая особенности конструктивного построения транспортной подвески, наличие сочленений трех твердых тел, можно предположить достаточным кинетическую энергию системы представить в виде суммы кинетических энергий составных частей в движении относительно неподвижной системы координат, тогда

T = T₁ + T₂ + T₃.                                                                                                                        (2)

ОЦЕНКА ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

В выражении (2) T₁ соответствует кинетической энергии тела массой m₁, имеющего относительно центра тяжести (т.А) момент инерции I₁, поэтому

                                                                                                   (3)

где y — координата центра тяжести твердого тела (т. А), угол поворота относительно центра тяжести. Кинетическая энергия подвижных блоков m₁I₁ и m₂I₂ определяется с учетом сложного характера их движения. Найдем скорость точки A₁ в неподвижной системе координат, используя схему распределения скоростей, показанную на рис. 2. Отметим, что более точным является представление контакта подвижного блока с вибрирующей поверхностью с учетом возможности горизонтального смещения. Однако, на предварительной стадии рассмотрения, будем полагать этот фактор, также как и демпфирование колебаний, маловлияющим. Введем ряд дополнительных соотношений

                                                                                                     (4)

где  .

Соответственно для второго блока получим

                                                   (5)

при этом

Подвижные рычажные фрагменты участвуют также во вращательном движении относительно точки A. Параметры этого вращения определяются как y₁ – z₁ и y₂ – z₂, что позволяет найти угловые скорости

                       (6)

                    (7)

где  при дальнейших расчетах принято, что  . Более детализированный учет параметров предполагает, что  а соответственно – . При этом  и  рассматриваются как малые приращения углов поворота. В свою очередь, полагая   и , можно записать соотношения

                                        (8)

Таким образом, кинетическая энергия рассматриваемой системы  с учетом (1÷8) может быть определена

                          (9)

Потенциальная энергия системы с учетом деформации упругих элементов запишется в виде

                (10)

где c₃ = a₃l₀; а a₃ - коэффициент, учитывающий геометрические особенности расположения рычагов: A₁B₁ и A₂B₂ принимаются в первом приближении такими, что выполняются следующие соотношения:

.

Воспользуемся для вывода дифференциальных уравнений движения формализмом Лагранжа и запишем ряд необходимых соотношений в системе координат полагая, что

                     (11)

Приведем выражение (10) к виду

      (12)

Используя (10)÷(11), получим систему дифференциальных уравнений движения в системе координат .

         (13)

          (14)

Коэффициенты уравнений (13), (14) приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Коэффициенты системы дифференциальных уравнений (13)÷(14) в координатах

Примечание: Q₁, Q₂ - обобщенные силы по координатам y и  .

                Структурная схема системы приведена на рис. 3. Её характерной особенностью является то, что связи между парциальными системами носят упругий характер. В отличие от традиционных представлений [8] условия «зануления» перекрестных связей определяются не только рычажными связями, которые формируются разнесением точек крепления пружин k₁ и k₂, но и параметрами рычажных механизмов c₁ и c₂.

Условия развязки колебаний между парциальными системами могут быть записаны в виде

.                                    (15)

По правилам Крамера [9] найдем, что

,                                                                                 (16)

.                                                                                             (17)

Используя таблицу 1 и структурную схему (рис. 3), найдем, что (при z₁ = z₂ = z):

            (18)

ВЫБОР СИСТЕМЫ КООРДИНАТ y₁, y₂

Аналогично можно получить детализированное выражение (17). Если использовать систему обобщенных координат y₁, y₂, то выражение для кинетической энергии примет вид:

       (19)

В свою очередь, потенциальная энергия определится:

           (20)

Найдем вспомогательные соотношения:

Используя (19)÷(20), запишем дифференциальные уравнения движения в системе координат y₁ и y₂ :

       (21)

Здесь

                                       (22)

Коэффициенты уравнений (21), (22) представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Коэффициенты системы дифференциальных уравнений в координатах y₁, y₂

Примечание: обобщенные силы по координатам y₁ и y₂ соответственно.

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ И ЕЕ ОСОБЕННОСТИ

Структурная схема системы в координатах y₁ и y₂ приведена на рис. 3. Анализ показывает, что рычажные связи существенным образом меняют связи между парциальными системами. Кроме того, передача внешних воздействий идет через механические цепи с формированием дополнительных инерционных сил, которые вносят свои коррективы в динамику взаимодействия звеньев.

Из анализа структурной схемы системы в координатах y₁ и y₂ (рис.4) следует, что в системе возможно «зануление» связей между парциальными системами y₁ и y₂ на частоте

                                            (24)

Что касается общего вида передаточной функции (),  то при z₁ = z₂ получим

                                                                                            (25)

где коэффициенты d₁-d₃, n₁-n₃ определяются параметрами системы  и коэффициентами уравнений (22), (23).

Передаточная функция  имеет такой же вид, как и (24), однако, коэффициенты числителя будут другими. Для оценки устойчивости системы необходимо исследовать характеристическое уравнение (знаменатель (25)), например, в соответствии с критериями Рауса-Гурвица [10]. Для получения частот собственных колебаний решается  характеристическое уравнение, которое в данном случае сводится к биквадратному частотному уравнению.  В общем случае корни биквадратного уравнения будут действительными положительными числами. Отметим, что числитель и знаменатель передаточной функции имеют один порядок; что предполагаются следующие особенности системы:

при

                                               ,                                                       (26)

где  и коэффициенты, определяемые так же как n₃ и d₃.

В свою очередь, при

.                                                        (27)

Поскольку частотное уравнение числителя передаточной функции имеет 4-ый порядок, то можно ожидать в системе координат y₁ и y₂ появления двух динамических режимов по каждой координате. При определенных условиях можно полагать выполнение соотношения (порядки частотных уравнений числителя и знаменателя совпадают): ,   что приводит к специфичному виду движения объекта защиты при отсутствии угловых колебаний .

 Рассмотрим особенности динамических свойств подвески (рис. 1): вначале в системе обобщенных координат . Воспользуемся данными из таблицы 1 и введем некоторые обозначения. Пусть    (при этом z₁= z₂ = z).  После некоторых преобразований найдем, что

 .

Числитель (25) можно привести к виду

                  (28)

откуда  

В свою очередь, знаменатель (29) принимает форму

                                                                            (29)

тогда

Из характеристического уравнения (29) можно найти граничное условие устойчивости по Раусу-Гурвицу [8]:

                                                                                                           (30)

что определяет возможность появления в системе циклической координаты. В общем случае рассматриваемая система может иметь два действительных положительных корня, что соответствует значениям двух частот собственных колебаний. На этих частотах амплитудно-частотная характеристика имеет резонансные пики (рис. 5). Однако система может иметь и комплексно-сопряженные корни, учитывая возможность большой вариативности.

Выбор параметров системы существенно влияет на вид амплитудно-частотной характеристики системы. На рис. 5 приведена АЧХ системы по координате y, график зависимости соответствует типовым проявлениям свойств механических  колебательных структур с устройствами преобразования движения в первом каскаде. В качестве настроечного параметра выбрана величина жесткости k₃ упругого элемента, соединяющего рычаги A₁A₂ и B₁B₂ (рис. 1). Дальнейшее увеличение жесткости k₃ меняет характер расположения частот динамического гашения относительно частот собственных колебаний. На рис. 5 приведена зависимость, отражающая условие нахождения режима динамического гашения при частоте меньшей, чем первая частота собственных колебаний. При больших значениях k₃ АЧХ может иметь вид, при котором на высоких частотах система практически не «запирается» и имеет две частоты собственных колебаний (рис. 7). Общим для приведенных АЧХ является наличие двух частот динамического гашения и «запирания» системы на высоких частотах. Однако в частных случаях при определенных условиях система может иметь одну частоту  динамического гашения или даже не иметь таковой.

Амплитудно-частотные характеристики системы по координате  отличаются от АЧХ по координате y тем, что режим динамического гашения будет только один.

Для движения по координате  по правилу Крамера [ 7 ] можно записать

                                                                                               (31)

Найдем частотное уравнение числителя (31):

       (32)

Поэтому для координаты  в (25)

 ,

что касается коэффициентов характеристического уравнения, то

Частота динамического гашения по координате  определится значением

                                     (33)

Различные виды АЧХ системы по  при изменениях k₃ приведены на рис. 8 (а, б, в), где  рис. 8а соответствует случаю нахождения режима динамического гашения между двумя резонансными частотами; случай б – соответствует режиму динамического гашения до первого резонанса. На рис. 8в показана в увеличенном масштабе зона динамического гашения.

 При рассмотрении системы в координатах y₁ и y₂, используя таблицу 2, запишем:

; , где

                                                                 (34)

;

Передаточная функция при входе z и выходе y₁ имеет вид

           (35)

Частотное уравнение числителя (36) можно записать

      (36)

откуда найдем

    (37)

Отметим, что характеристическое уравнение в (36) остается таким же, как и в (25). Для координаты y₂ частотное уравнение числителя (35) имеет вид

        (38)

откуда

       (39)

Исследуя уравнение числителя (36), можно получить самые разнообразные частотные характеристики с возможностями двух, одного или отсутствия режимов динамического гашения; можно получить условия y₁ - y₂ = 0, то есть режим, при котором угол поворота объекта .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, введение рычажных связей  в схему транспортной подвески может существенно расширить спектр динамических свойств  подвески и в случае построения системы управления параметрами системы обеспечить режимы частичного или полного гашения на определенных частотах воздействий со стороны основания.

ЛИТЕРАТУРА

1.        Хоменко А.П. Динамика и управление в задачах виброзащиты и виброизоляции подвижных объектов. – Иркутск: ИГУ. 2000. – 293 с.

2.        Ротенберг Р.В. Подвеска автомобиля . М.: Машиностроение, 1972. – 372 с.

3.        Елисеев С.В., Волков Л.Н., Кухаренко В.П. Динамика механических систем с дополнительными связями. – Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1990. – 312 с.

4.        Елисеев С.В., Белокобыльский С.В., Упырь Р.Ю., Гозбенко В.Е. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. Теоретические аспекты. Иркутский гос. ун-т путей сообщения. – Иркутск, 2009. – 159 с. – Рус. Деп. в ВИНИТИ 27.11.09 ╧737-В 2009.

5.        Ермошенко Ю.В. Управление вибрационным состоянием в задачах виброзащиты и виброизоляции // Дисс. на соиск. уч. ст. к.т.н. – Иркутск: ИрГУПС, 2002. – 185 с.

6.        Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т2. Динамика. – М.: Наука, 1980. – 640с.

7.        Дружинский И.А. Механические цепи. М.: Машиностроение. 1977. – 240 с.

8.        Ким П.Д. Теория автоматического управления в 2-х томах. Т.1. Линейные системы.  М.: Физматгиз, 2003. – 288 с.