Другие журналы
|
научное издание МГТУ им. Н.Э. БауманаНАУКА и ОБРАЗОВАНИЕИздатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211. ISSN 1994-0408
Об оценке влияния погрешности таблично заданной функции на численное значение коэффициентов аппроксимирующей функции.
#6 июнь 2008
О.
Г. Петросян
При совместных измерениях возникает необходимость аппроксимировать результаты измерений аналитическим выражением для численного определения промежуточных значений. При этом, если одна из величин (например, аргумент) устанавливается в процессе измерения и является независимой, то в численное значение другой измеряемой величины входят составляющие систематических и случайных погрешностей. Вычисление суммарного значения составляющих погрешностей полагаем известным. Это отдельная задача [1] и здесь она не рассматривается. Таким образом, результаты измерений мы приводим к табличной функции, где аргумент x является независимой величиной, а функция y определяется с суммарной погрешностью Δy. В статье рассматривается вопрос о влиянии погрешности Δy на численное значение коэффициентов аппроксимирующей функции. Рассмотрим вначале аналитическое представление табличных данных непараболическими функциями [2] типа:
y = abx (1) y = axb (2)
Логарифмируя выражение (1) и вводя новые переменные
zi
= Lnyi, A = Lna, B = Lnb (3)
и используя метод наименьших квадратов для n точек, получим систему из двух линейных уравнений:
Σ zi = B·Σ xi + n·A (4)
Σ zi
xi = B·Σ xi2 + A·Σ xi
Приращение Δzi при изменении yi на величину Δyi определим как разность
Δzi = Ln(yi + Δyi) - Ln yi = Ln(1 + Δyi/ yi), (5)
При малых отклонениях Δyi/yi от точки к точке можно ввести понятие среднего значения относительной погрешности
и положить Δzi ≈ Δz = Ln(1 +. В этом случае определители для вычисления новых значений коэффициентов A и B можно разбить на два:
D – Детерминант системы уравнений (4). Таким образом, A’ = A + Ln(1 + δ). Аналогично находим B’
Возвращаясь к первоначальным значениям параметров a и b, исходя из (3), имеем
(7)
Уравнение (1) соответственно примет вид
(8)
Таким образом, параметр a’ определяет верхнюю границу возможных значений функции y’ = a’bx с учётом среднего значения относительной погрешности. При симметричном значении отрицательной составляющей погрешности -Δyi аналогичным образом можно определить нижнюю границу возможных значений функции y = abx. Логарифмируя выражение (2) и вводя обозначения:
(9)
приходим к системе уравнений аналогичной (3)
(10)
Принимая во внимание (6) и возвращаясь к первоначальным переменным, уравнение (2) примет вид:
(11)
Таким образом, в уравнениях (1) и (2) для оценки верхней и нижней границы промежуточных значений табличной функции y с учётом суммарной погрешности необходимо помножить коэффициент a на величину (1 + δ), для чего достаточно определить среднее значение относительной погрешности δ. Покажем, что полученные результаты можно использовать и при аппроксимации табличной функции полиномом или тригонометрическим рядом Фурье. В качестве примера рассмотрим аппроксимацию табличной функции полиномом третьей степени типа
(12)
Для точек x1, y1; x2, y2; x3, y3 коэффициенты a, b, c находятся из системы трёх линейных уравнений:
(13)
Определим суммарные погрешности для y1 , y2 , y3 как Δy1 , Δy2 , Δy3 соответственно и представим их с учётом (6) в виде:
(14)
Вынося постоянный множитель (1+ δ )за определители, получим
(15)
Таким образом, верхняя и нижняя границы коэффициентов a, b, c выражения (12) определяются простым умножением правой части уравнения (12) на (1± δ). Из (13) также очевидно, что полученные результаты не зависят от степени аппроксимирующего полинома. Аналогичным образом можно показать, что аппроксимируя табличную функцию полиномом n степени и определяя коэффициенты an, an-1, …, ao методом наименьших квадратов мы также придём к выражению
(16)
Аппроксимируя табличную функцию yi тригонометрическим рядом Фурье, примем во внимание то обстоятельство, что в формулах для вычисления коэффициентов ряда ao, ak, ,bk под знаком суммы входит yi ( Σyi , Σyi Sinkxi , Σyi Coskxi). Верхняя и нижняя границы коэффициента ao и коэффициентов гармоник ak, ,bk ,таким образом, будут определяться множителем (1+δ), а выражение для промежуточных значений табличной функции yi с учётом суммарной погрешности ± Δyi примет вид:
Предложенный способ вычисления коэффициентов аппроксимирующих функций можно использовать при смещении всех табличных значений yi на величину yi ± Δ или для оценки погрешности Δy в промежутке между точками i и i ± 1.
Литература О. Г Петросян
А. К. Митропольский Публикации с ключевыми словами: аппроксимация Публикации со словами: аппроксимация Смотри также:
Тематические рубрики: Поделиться:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|