НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 519.6

Карпенко А.П.
(д.ф.-м.наук, профессор МГТУ им.Н.Э.Баумана, телефон: 263-65-26, E-mail: karpenko@nog.ru)

Федорук В.Г.
(к.т.н., доцент МГТУ им.Н.Э.Баумана, телефон: 263-65-26, E-mail: fedoruk@comcor.ru)

Работа является второй работой в серии, посвященной адаптивным методам решения непрерывной конечномерной задачи многомерной многокритериальной оптимизации [1]. Рассматривается два метода аппроксимации функции предпочтений лица, принимающего решения (ЛПР) - метод на основе центрально-композиционных планов (ЦКП) второго порядка и метод на основе комбинации ЦКП и несимметричных ненасыщенных композиционных планов Хартли и Вестлейка второго порядка.

1.     Основные обозначения

Постановка задачи многокритериальной оптимизации приведена в первой работе рассматриваемой серии [1]. Повторим основные обозначения, введенные там.

Вектор - n-мерный вектор параметров задачи (вектор варьируемых параметров), где

-

замкнутое множество допустимых значений вектора параметров; - ограничивающие функции.

- векторный критерий оптимальности, определенный на множестве . ЛПР стремится минимизировать каждый из частных критериев .

Полагается, что все частные критерии тем или иным способом нормализованы и за нормализованными частными критериями оптимальности сохранены обозначения .

Решение задачи многокритериальной оптимизации отыскивается с помощью метода скалярной сверки, который при каждом фиксированном векторе сводит решение этой задачи к решению однокритериальной задачи глобальной условной оптимизации

, (1)

где - результат операции свертки (суперкритерий), - вектор весовых множителей, - множество допустимых значений этого вектора.

Если при каждом решение задачи (1) единственно, то условие (1) ставит в соответствие каждому из допустимых векторов единственный вектор и соответствующие значения частных критериев оптимальности . Это обстоятельство позволяет полагать, что функция предпочтения ЛПР определена не на множестве , а на множестве :

.

В результате задача многокритериальной оптимизации сводится к задаче выбора вектора такого, что

. (2)

Величина полагается лингвистической переменной со значениями ”Очень-очень плохо”, ”Очень плохо”, …, ”Отлично”. Центры соответствующих нечетких множеств обозначаются и имеют значения 1, 2, …, 9, соответственно.

В данной, как и в предшествующей работе, задача многокритериальной оптимизации сводится к задаче отыскания вектора , обеспечивающего максимальное значение четкой дискретной функции :

. (3)

2.     Планы второго порядка

Планы второго порядка предназначены для получения регрессионной модели в виде полного квадратного полинома

. (4)

Для стандартизованных факторов эта же модель имеет вид

, (5)

где , , - основной (базовый) уровень фактора , а - шаг варьирования этого фактора.

Общее количество неизвестных коэффициентов в модели второго порядка равно , т.е. в раз больше, чем в модели первого порядка.

Легко показать [2], что

,

, , ,

, ,

, ,

где

, если , и , если ;

, если , и , если .

Необходимое условие минимума квадратичной формы (4) имеет, очевидно, вид

, .

Отсюда имеем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для определения

,

,

……………………………….

,

.

Известно большое количество симметричных и несимметричных планов второго порядка, оптимальных в смысле различных критериев оптимальности регрессионных экспериментов. Симметричные планы приводят к информационной матрице простой структуры. Для этих планов существуют также достаточно простые соотношения для коэффициентов регрессии, их выборочных дисперсий, а также для ковариаций. Несимметричные планы в этом смысле менее удобны, но они являются более экономными по необходимому числу опытов. Насыщенные планы второго порядка имеются только среди несимметричных планов.

Среди симметричных планов второго порядка наиболее известны следующие планы [2]: симплекс-суммируемые ротатабельные планы; симметричные квази-D-оптимальные планы; композиционные планы типа ; трехуровневые планы Бокса-Бенкена; полный факторный эксперимент (ПФЭ) ; центрально-композиционные планы (ЦКП). Приведем краткий обзор перечисленных планов.

Симплекс-суммируемые ротатабельные планы строятся на основе насыщенных симплекс-планов. Планы не являются ортогональными, но обладают свойством ротатабельности. Планы являются сильно ненасыщенными, например, при возможны только количества опытов , при - , при - , при - и т.д. Таким образом, для наших целей применение симплекс-суммируемых планов не целесообразно.

Симметричные квази-D-оптимальные планы являются не ортогональными и сильно ненасыщенными, например, при возможно только количество опытов , при - , при - , и т.д. В наших условиях применение планов также не целесообразно.

Композиционные планы типа . По количеству точек планы аналогичны соответствующим ортогональным ЦКП (ОЦКП) и ротатабельным ЦКП (РКЦП), но не обладают свойствами ортогональности и ротатабельности.

Трехуровневые планы Бокса-Бенкена состоят из основной части, представляющей собой определенную выборку строк матрицы плана ПФЭ , а также некоторого количества центральных точек. При m=2, 3, 4 число опытов в планах данного класса немного меньше, чем в ЦКП, однако уже при m=5 это число равно 40 (по сравнению с 27 в соответствующем ЦКП).

Полный факторный эксперимент содержит все возможные комбинации mфакторов на трех уровнях (-1, 0, +1). План требует очень большого количества опытов и обычно используется лишь при .

Центрально-композиционные планы являются не насыщенными планами и состоят из трех частей.

1). Основа плана или ядро плана – ПФЭ или дробный факторный эксперимент (ДФЭ) . На возможную степень дробности используемого ДФЭ накладываются весьма жесткие ограничения:

·            при допустимо использование только планов ПФЭ ;

·            при - планов ПФЭ и планов ДФЭ ;

·            при - планов ПФЭ , ДФЭ , ДФЭ .

2). «Звездные» точки, расположенные на координатных осях на расстоянии от центра эксперимента, где величина выбирается, исходя из того или иного критерия оптимальности регрессионного эксперимента.

3). Центральная точка (мы рассматриваем только планы без дублирования опытов).

При использовании в качестве ядра плана ДФЭ , часть ЦКП, содержащая «звездные» точки и центральную точку, имеет вид, представленный в Табл. 1.

Таблица 1. Часть ЦКП, содержащая «звездные» точки и центральную точку

Среди ЦКП выделяют ОЦКП и РЦКП. Ортогональные планы строятся с учетом только критерия ортогональности и приводят к планам, имеющим диагональную информационную матрицу Фишера. При этом решение СЛАУ метода наименьших квадратов становится тривиальным. Поэтому ограничимся только ОЦКП.

Для обеспечения ортогональности ЦКП несколько изменяют систему базисных функций, а именно используют регрессионную модель

,

где , . Здесь - общее количество опытов.

Кроме того, для обеспечения ортогональности плана, величина должна выбираться равной

.

Среди несимметричных планов второго порядка наиболее известны следующие планы: ненасыщенные композиционные планы Хартли; ненасыщенные композиционные планы Вестлейка; ненасыщенные планы, композиционные по отношению к планам главных эффектов [2]. Приведем краткий обзор перечисленных планов.

Ненасыщенные композиционные планы Хартли близки к ОЦКП и РЦКП, однако здесь нет столь жестких ограничений на дробность ДФЭ. Требуется лишь, чтобы в плане не было линейно зависимых столбцов. В результате планы Хартли позволяют уменьшить количество опытов (но, одновременно, и сглаживание функции отклика). Если в данных планах значение параметра выбрать так, как это сделано в ЦКП, и перейти к центрированным квадратичным функциям, то информационная матрица Фишера окажется весьма близкой к ортогональной матрице! При m=6, 7 в качестве ядра плана в данном случае можно применить ДФЭ , т.е. по сравнению с ЦКП уменьшить в два раза количество точек в ядре плана.

При m=2, 3, 6 планы Хартли весьма близки к насыщенным планам (но имеют плохие сглаживающие свойства). При =5, 7 планы Хартли слишком неэкономны (имеют много «лишних» точек).

Ненасыщенные композиционные планы Вестлейка. Ядром планов Вестлейка являются нерегулярные дробные реплики (НДР) ПФЭ . Можно получить планы Вестлейка весьма близкие к насыщенным планам. Например, для m=5 план Хартли требует проведения 27 опытов, а план Вестлейка – 23 опытов; при m=7 - 47 и 41 опытов, соответственно.

Ненасыщенные планы, композиционные по отношению к планам главных эффектов включают в себя две части. В качестве основной части плана обычно используется 3-х уровневый план с ортогональной информационной матрицей. Вторая часть плана строится на основе ПФЭ или ДФЭ . Приемлемые по числу опытов и своим свойствам планы этого типа получены только для m=2, 3, 4 (M равно 13, 17, 32, соответственно).

3.               Аппроксимация функции предпочтений на основе центрально-композиционных планов второго порядка

Как и при использовании планов первого порядка, важной проблемой при использовании планов второго порядка является проблема выбора подходящего плана. Выбор приходится производить между двумя следующими крайними вариантами.

1)              Не насыщенные планы. Эти планы требуют большего количества опытов, но обеспечивают высокую помехозащищенность, позволяют выполнить проверку значимости регрессионных коэффициентов, а также оценить работоспособность регрессионной модели.

2)              Планы, близкие к насыщенным планам по количеству точек в спектре. Эти планы требуют небольшого количества испытаний, однако имеют низкую помехозащищенность (если план насыщенный – то сглаживания вообще нет), затрудняют проверку значимости регрессионных коэффициентов и работоспособности регрессионной модели.

В данном разделе рассматривается использование не насыщенных ЦКП. Целесообразность использования этих планов обусловлена тем обстоятельством, что для них легко обеспечить ортогональность информационной матрицы Фишера, а, значит, и простоту решения соответствующей СЛАУ. Важным достоинством ЦКП (как и любых композиционных планов) является то, что в спектр этого плана входят точки спектра плана первого порядка.

Ниже приводится библиотека планов для задачи многокритериальной оптимизации, содержащей от 2 до 10 частных критериев оптимальности. В качестве области планирования (части факторного пространства, в которой располагаются точки плана) используется естественная область планирования [2].

m=2 (см. Табл. 2). Ядро плана - план ПФЭ ; p=0; число опытов ; число степеней свободы ; число базисных функций . Заметим, что в Табл. 2 и последующих аналогичных таблицах не показаны столбцы, соответствующие квадратичным членам.

Таблица 2. Часть ЦКП для m=2.

m=3 (см. Табл 3). Ядро плана - план ПФЭ ; p=0; число опытов M=15; число степеней свободы 4; число базисных функций .

Таблица 3. Часть ЦКП для m=3.

m=4 (см. Табл 4). Ядро плана - план ПФЭ ; p=0; число опытов M=25; число степеней свободы 9; число базисных функций .

Таблица 4. Часть ЦКП для m=4.

m=5. Ядро плана - план ДФЭ ; p=1; число опытов M=27; число степеней свободы 5; ведущие факторы ; генерирующее соотношение ; число базисных функций . Замечание. Здесь и далее планы с ядром ПФЭ не рассматриваются в силу слишком большого количества опытов в них.

m=6. Ядро плана - план ДФЭ ; p=1; число опытов M=45; число степеней свободы 16; ведущие факторы ; генерирующее соотношение ; число базисных функций .

m=7. Ядро плана - план ДФЭ ; p=1; число опытов M=79; число степеней свободы 71; ведущие факторы ; генерирующее соотношение ; число базисных функций .

m=8. Ядро плана - план ДФЭ ; p=2; число опытов M=81; число степеней свободы 42; ведущие факторы ; генерирующие соотношения , ; число базисных функций . Замечание. Здесь и далее планы с ядром ДФЭ не рассматриваются в силу слишком большого количества опытов в них.

m=9. Ядро плана - план ДФЭ ; p=2; число опытов M=147; число степеней свободы 91; ведущие факторы ; генерирующие соотношения , ; число базисных функций .

m=10. Ядро плана - план ДФЭ ; p=2; Число опытов M=277; число степеней свободы 210; ведущие факторы ; генерирующие соотношения , ; число базисных функций .

4.               Аппроксимация функции предпочтений на основе комбинации центрально-композиционных планов и композиционных планов Хартли и Вестлейка второго порядка

Ниже приводится библиотеку планов, в которой при использованы рассмотренные в предыдущем разделе ЦКП, при - планы Хартли или планы Вестлейка. В последних планах величина должна быть выбрана так же, как в предыдущем разделе. Как и в предыдущем разделе, планы ориентированы на использовании центрированных квадратичных функций, что обеспечивает близость информационной матрицы Фишера к диагональной матрице.

m=2. ЦКП с ядром ПФЭ ; p=1; число опытов ; число степеней свободы ; число базисных функций .

m=3. ЦКП с ядром ПФЭ ; p=0; число опытов M=15; число степеней свободы 4; число базисных функций .

m=4. Композиционный план Хартли с ядром ДФЭ ; p=1; число опытов M=17; число степеней свободы 1; число базисных функций ; ведущие факторы ; генерирующее соотношение (см. Табл. 5). Заметим, что в этой таблице не показаны столбцы, соответствующие квадратичным членам.

Таблица 5. Композиционный план Хартли для m=4.

m=5 (см. Табл. 6). Композиционный план Вестлейка с ядром НДР 3*; p=2; число опытов M=23; число степеней свободы 1; ведущие факторы ; генерирующие соотношения , , (здесь и далее запись вида означает, что в ядре плана столбец, соответствующего фактора имеет только значения 1); число базисных функций . При построении первой дробной реплики в этих соотношениях следует использовать знаки +, -, +, при построении второй реплики – знаки +, +, -, третьей реплики – знаки -, +, -. Замечание. План Хартли с ядром ДФЭ требует M=27 опытов; ядро ДФЭ не может быть использовано. В Табл. 6 и в последующих аналогичных таблицах не показаны столбцы, соответствующиедвухфакторным взаимодействиям и квадратичным членам.

Таблица 6. Композиционный план Вестлейка для m=5.

m=6 (см. Табл. 7). Композиционный план Хартли с ядром ДФЭ ; p=2; число опытов М=29; число степеней свободы 1; ведущие факторы ; генерирующие соотношения , ; число базисных функций .

m=7 (см. Табл. 8). Композиционный план Вестлейка с ядром НДР 13*; p=6; число опытов M=41; число степеней свободы 4; ведущий фактор ; генерирующее соотношение ; число базисных функций . Знаки генерирующих соотношений (ГС) при построении первой и последующих дробных реплик приведены в Табл. 9. Замечание. В этом случае план Хартли с ядром ДФЭ требует числа опытов N=47 (ядро ДФЭ не может быть использовано).

Таблица 7. Композиционный план Вестлейка для m=6.

Таблица 7. Знаки генерирующих соотношений для НДР 13*

Далее вместо такой таблицы для компактности записи будем использовать список, в котором указаны только равные (-1) генерирующие соотношения. Так что вместо приведенной выше таблицы будем использовать запись вида: ; ; ; ; ; ; ,; ,; ,; ,; ,; ,,; ,,.

Таблица 8. Композиционный план Вестлейка для m=7.

m=8 (см. Табл. 9). Композиционный план Хартли с ядром ДФЭ ; p=3; число опытов M=49; число степеней свободы 3; ведущие факторы , , , , ; генерирующие соотношения, , ; число базисных функций . Замечание. Ядро ДФЭ в плане Хартли в этом случае не может быть использовано.

Таблица 9. Композиционный план Вестлейка для m=8.