НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: SE-BMSTU...o319.pdf (393.63Кб)

УДК 517.91

Россия,  МГТУ им. Н.Э. Баумана, ИСА РАН

В последние пятнадцать лет в теории динамических систем оформился один из способов качественного исследования динамической системы — локализация инвариантных компактных множеств динамической системы. Под локализацией здесь понимается построение в фазовом пространстве системы таких множеств, которые содержат все инвариантные компактные множества динамической системы [1].
Инвариантные компактные множества тесно связаны с ограниченными траекториями системы, структура которых в фазовом пространстве играет ключевую роль во многих приложениях теории динамических систем. Задачи локализации инвариантных компактных множеств примыкают к другим важным задачам, например, к задачам оценки областей притяжения аттракторов, задачам управляемости и т.п.
За прошедшее время исследования задач локализации были направлены как на разработку методов решения [2–8], так и на исследование конкретных динамических систем, встречающихся в приложениях (см., например, [9–16]).
Один из методов решения задач локализации, оказавшийся весьма эффективным, основан на использовании гладких функций, определенных в фазовом пространстве системы, это так называемый функциональный метод [1–3]. Эффективность функционального метода усиливается при последовательном применении нескольких функций. При этом использование очередной функции приводит к уточнению уже построенного локализирующего множества. Возникает итерационная процедура последовательного сужения локализирующего множества [1–2].
Настоящая статья посвящена анализу указанной итерационной процедуры, естественным образом возникающей в автономных системах специального вида, в которых правая часть каждого дифференциального уравнения разрешима относительно соответствующей фазовой переменной. Такие системы встречаются в приложениях [17].

1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Инвариантные компакты динамических систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 231 с.
2. Krishchenko A.P. Estimations of domains with cycles // Computers and Mathematics with Applications. 1997. Vol. 34, iss. 2–4. P. 325–332. DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00130-2
3. Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 12. С. 1597–1604.
4. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов неавтономных систем // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 1. С. 47-53.
5. Канатников А.Н., Коровин С.К., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов дискретных систем // Докл. РАН. 2010. Т. 431, № 3. С. 323–325.
6. Канатников А.Н., Коровин С.К., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов дискретных систем с возмущением // Докл. РАН. 2011. Т. 438, № 6. С. 743–746.
7. Starkov K.E. Compact invariant sets of the Bianchi VIII and Bianchi IX Hamiltonian systems // Phys. Lett. A. 2011. Vol. 375, iss. 36. P. 3184–3187. DOI: 10.1016/j.physleta.2011.06.064
8. Starkov K.E. Localizing bounds for compact invariant sets of nonlinear systems possessing first integrals with applications to Hamiltonian systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2010. Vol. 20, no. 5. P. 1477–1483. DOI: 10.1142/S0218127410026629
9. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of the Lorenz system // Phys. Lett. A. 2006. Vol. 353, iss. 5. P. 383–388. DOI: 10.1016/j.physleta.2005.12.104
10. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of nonlinear systems with application to the Lanford systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2006. Vol. 16, no. 11. P. 3249–3256. DOI: 10.1142/S0218127406016768
11. Starkov K.E. Estimation of the domain containing all compact invariant sets of the optically injected laser system // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2007. Vol. 17, iss. 11. P. 4213–4216. DOI: 10.1142/S0218127407019755
12. Zhang F., Mu C., Li X. On the boundness of some solutions of the Lü system // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2012. Vol. 22, no. 1. Art. no. 1250015. DOI: 10.1142/S0218127412500150
13. Mu C., Zhang F., Shu Y., Zhou S. On the boundedness of solutions to the Lorenz-like family of chaotic systems // Nonlin. Dyn. 2012. Vol. 67, iss. 2. P. 987–996. DOI: 10.1007/s11071-011-0041-3
14. Cai G., Yu H., Li Y. Localization of compact invariant sets of a new nonlinear finance chaotic system // Nonlin. Dyn. 2012. Vol. 69, no. 4. P. 2269–2275. DOI: 10.1007/s11071-012-0425-z
15. Канатников А.Н., Федорова Ю.П. Локализация инвариантных компактов двумерных непрерывных динамических систем // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 7. С. 159-174. DOI: 10.7463/0713.0583104
16. Канатников А.Н., Михайлова О.В. Локализация инвариантных компактов дискретной системы Лози // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 8. С. 121-134. DOI: 10.7463/0813.0609276
17. Yukalov V.I., Yukalova E.P., Sornette D. New Approach to Modeling Symbiosis in Biological and Social Systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 9. Art. no. 1450117. DOI: 10.1142/S021812741450117X