Наука и Образование: научно-техническое издание: О влиянии законов управления потенциалами на силовые характеристики сферического электростатического подвеса

УДК 621.31(075.8)

С. А. Васюков.

МГТУ им. Н. Э. Баумана, кафедра ФН-7
(“Электротехника и промышленная электроника”)

Центрирование сферического ротора в электростатическом подвесе достигается путем силового взаимодействия заряженных проводников, образующих электродную систему, и проводящей поверхности взвешиваемого тела.

Расчет силовой характеристики может быть произведен, опираясь на различные математические модели подвеса. В одних моделях предполагается, что электрическое поле полностью сосредоточено в промежутке электрод-ротор [1]. Эти модели по существу используют зависимость емкости плоского конденсатора от смещения ротора. В других случаях [2] с той или иной степенью приближения решается полевая задача распределения потенциала с последующим определением силовой функции.

Несмотря на большое количество работ, посвященных силовым характеристикам подвесов, в них должным образом не уделялось внимание вкладу потенциала ротора в силовую характеристику. Практически нет работ, рассматривающих силовые характеристики импульсных подвесов. Таким образом, задачей настоящего исследования является:

- получение статических силовых характеристик сферических подвесов и анализ их отдельных составляющих при смещениях ротора как в линейной зоне подвеса (малые смещения), так и при произвольных (выходящих за линейую зону) смещениях;

- исследование силовых характеристик при различных законах управления потенциалами на электродах (подвесы на постоянном токе, импульсные подвесы с ШИМ);

- определение областей устойчивости, из которых возможно гарантированное начальное всплытие ротора с упоров и исследование влияния на размер этих областей различных законов управления потенциалами.

Существуют различные конфигурации электродных систем, однако наибольшее практическое применение в настоящее время нашли подвесы с электродами в виде правильных сферических сегментов, рис. 1.

Рис. 1. Сферический подвес с сегментными электродами

Обозначим проводники рассматриваемого подвеса следующим образом: индексом i = 0 - ротор, индексом i = 7- экран (металлизированные межэлектродные промежутки), а i = 1, …., 6 – электроды.

Как известно [1], сила, действующая на твердое тело в электростатическом поле, представляется в виде

(1)

где n – количество проводников (в рассматриваемом подвесе ); - коэффициенты электростатической индукции, которые свзывают заряды тел q_i с их потенциалами ;

j=0... n. (2)

зависят от геометрических размеров проводников (электродов, ротора, экрана) и их взаимного расположения, а, следовательно, являются функциями смещения ротора из центра подвеса. Эти коэффициенты для сферического подвеса (на основе решения полевой задачи распределения потенциала в области ротор-камера) были получены автором в работе [3]. Введем понятие “базовых коэффициентов электростатической индукции” как минимального набора коэффициентов, из которых, используя симметрию в конструкциях подвесов и преобразования координат, можно получить полные матрицы коэффициентов . Для рассматриваемого подвеса базовые коэффициенты электростатической индукции можно записать как

(3)

Здесь - нормированные (по отношению к зазору электрод-ротор при центральном положении ротора) смещения ротора в направлениях x, y, z соответственно. Коэффициенты при нормированных смещениях в (3) имеют размерность емкости и являются сложными зависимостями от геометрических размеров подвеса: радиуса ротора зазора и углового размера электрода .

Теперь, используя (1) и (3), можно построить выражения проекций силовой характеристики подвеса на оси x, y, z.

(4)

Существует несколько законов управления потенциалами на электродах подвеса. Каким же требованиям должны отвечать эти законы? В первую очередь они должны обеспечивать устойчивость, а также наилучшие рабочие характеристики: перегрузочную способность, жесткость и стабильность центрирования подвесов. Законы регулирования не должны быть слишком сложны в технической реализации. Известно, что наилучшие характеристики имеют подвесы с нулевым потенциалом ротора. Следовательно, законы управления должны обеспечивать минимальный наведенный потенциал ротора.

Система регулирования потенциалов на электродах подвеса включает несколько каналов стабилизации. Число каналов равно, как правило, числу пар диаметрально противоположных электродов. Сферический подвес с шестью электродами содержит три канала стабилизации по осям x, y, z. Канал стабилизации включает датчик перемещения и выходной высоковольтный каскад, подключенные к паре диаметрально противоположных электродов, а также блок усиления и коррекции. Регулирование потенциалов в большинстве практических схем подвесов осуществляется в противофазе. Так, например, в подвесах с амплитудным регулированием в зависимости от смещения ротора напряжение на одном из пары электродов возрастает на определенную величину и на столько же уменьшается напряжение на втором электроде, что создает соответствующую восстанавливающую силу.

Рассмотрим законы управления потенциалами в электростатических подвесах.

Управление в подвесах на постоянном токе осуществляется по законам [4]

(5)

Здесь i, j – номера пар диаметрально противоположных электродов.

Для сферического подвеса номера пар (i, j)– (1, 3), (2, 4), (5, 6).

Коэффициенты принимают значения плюс или минус единица, их выбор проводится таким образом, чтобы обеспечить минимальный наведенный потенциал ротора. Потенциалы и являются положительными величинами и представляет собой начальную уставку или опорное напряжение на электродах. Величина уставки выбирается с учетом максимально допустимого по пробою напряжения на электродах подвеса. Приращение потенциала в статическом режиме пропорционально напряжению на выходе датчика перемещений и не превышает по абсолютной величине потенциала уставки:

(6)

Здесь - коэффициент усиления следящей системы, подключенной к паре электродов (i, j).

Для подвесов на переменном токе законы управления запишем в виде:

(7)

Здесь - опорная амплитуда напряжения. Приращения амплитуды формируются по (6), значения начальных фаз подбираются при минимизации потенциала ротора.

В последнее время начали широко применяться подвесы, в которых вместо непрерывных или аналоговых систем регулирования используются импульсные или дискретные системы. Рассмотрим импульсные законы управления электростатическими подвесами, потенциалы, на электродах которых регулируются по принципу ШИМ (широтно-импульсной модуляции). В работе [5] показано, что минимальный наведенный потенциал ротора обеспечивается при законе управления

(8)

Приращение длительности импульсов ШИМ пропорционально напряжению датчика перемещений и формируется в виде

(9)

где - фиксированный промежуток времени, обеспечивающий оптимальное функционирование импульсного датчика перемещения [4].

Величина не должна достигать половины периода квантования или превышать ее, так как в противном случае импульсы на электродах вырождаются в постоянный уровень, что нарушает работу импульсных датчиков перемещения.

Смысл коэффициентов тот же, что и в подвесах на постоянном и переменном токе. Графическая иллюстрация закона управления одним из каналов подвеса при приведена на рис. 2.

Рис. 2. Временные диаграммы потенциалов подвеса с ШИМ.

. Диаграммы а) и б) соответствуют несмещенному положению, а в) и г) – смещенному при . Регулирование на i –м электроде осуществляется по заднему, а на j –м по переднему фронтам импульса.

Анализируя выражения (4), можно отметить, что сила, действующая на ротор, является функцией в том числе и потенциала ротора . Возникновение этого потенциала обусловлено двумя причинами. Первую обычно связывают с явлением электростатической индукции в условиях, когда на электродах подвеса заданы потенциалы . Вторая причина состоит в том, что в рабочем зазоре подвеса наблюдается перенос зарядов за счет темновых токов и микроразрядов. Это приводит к возникновению на роторе случайного заряда .

Выделим из (2) выражение для потенциала ротора:

(10)

Поскольку потенциалы на электродах непосредственно не связаны с зарядом , то минимизацию выражения (10) можно провести, лишь минимизируя по отдельности каждое из его слагаемых.

Рассмотрим случай , т.е. потенциал ротора индуцируется только окружающими его электродами. Пусть ротор находится в центральном положении. В этом случае для сферического подвеса и выражение (10) сведется к виду

(11)

Очевидно, что потенциал при центральном положении ротора принимает нулевое значение, если сумма всех потенциалов на электродах подвеса равна нулю.

В соответствии с приведенными выше рекомендациями нам необходимо выбрать коэффициенты и таким образом, чтобы при центральном положении () потенциал ротора был нулевым. Так как число осей подвеса нечетно, то возможны два варианта формирования уставок потенциала на электродах.

Вариант 1. Проанализируем случай, когда диаметрально противоположные электроды имеют уставки одного знака, например электроды Э1 и Э3 – положительные, а Э2, Э4, Э5, Э6 – отрицательные. Очевидно, что, согласно (11), потенциал ротора при центральном положении ротора будет нулевым, если значение положительной уставки на одной паре электродов в два раза больше значения отрицательной на двух других парах.

Зависимости, характеризующие работу датчиков перемещений при работе подвеса в линейной зоне, получены в работе [4] и могут быть представлены в виде

(12)

В этом случае законы управления (5), (6) с учетом (12) запишем в виде

(13)

Назовем (13) первым законом (вариантом) управления.

Используем преобразование координат и запишем на основе базовых коэффициентов (3) в общем виде те значения , которые нам понадобятся для формирования выражения потенциала ротора (11)

(14)

Анализ влияния потенциала ротора на характеристики удобно провести задавшись некоторыми характерными размерами подвеса. Электростатический подвес является составной частью электростатического гироскопа (ЭСГ). Принято различать ЭСГ по точности, причислив к приборам высокой точности конструкции с полыми роторами больших диаметров (40…60 мм) и средней точности со сплошными роторами малых диаметров (10…20 мм). При этом в силу ряда причин была установлена величина рабочего зазора электрод-ротор соответственно 50…150 мкм и 10…20 мкм. Для конструкций со сплошными роторами наиболее выгодным оказывается использование четырехосного восьмиэлектродного подвеса с электродами в виде сферических треугольников. В приборах с полыми роторами наибольшее применение нашли трехосные подвесы с сегментными электродами (подвес этого типа рассматривается в данной работе). Зададимся рядом характерных размеров для подвеса с полым ротором:

- радиус ротора

- зазор при центральном положении ротора

- угловой размер электрода .

Для этих типоразмеров величины констанат при коэффициентах электростатической индукции (14):

Пусть (такое опорное напряжение обеспечивает троекратную перегрузочную способность подвеса) и максимальное смещение, при котором еще сохраняется пропорциональное регулирование (линейная зона) составляет 10% от зазора, Тогда, коэффициент усиления следящей системы .

Исследуем, как изменяется потенциал ротора при произвольных смещениях, в том числе и когда приращения потенциалов на электродах (6) выходят на насыщение. Будем задавать смещение центра ротора из центра подвеса О () в различных направлениях, которые определяются в сферической системе координат, рис. 3, углами .

Рис. 3. Сферическая система координат

Линейные смещения по осям x, y, z можно представить в виде

Для первого варианта управления изменение потенциала представлено на рис. 4. Максимальной величины 0.09 нормированный потенциал достигает при смещении в направлении электрода Э1, рис. 1. Этому случаю соответствуют углы . При смещении в линейной зоне ( ) нормированный потенциал для любого направления смещения не превышает 0.02.

Отметим, что при рассмотренном законе управления подвес будет неравножестким. Это является существенным недостатком подвеса.

Силовая характеристика (16) специально разбита на четыре качественно различные, на наш взгляд, составляющих. Первая из них является основной, так как она пропорциональна приращению потенциала на электродах Э1 и Э3, оси которых совпадают с осью x, т.е. можно интерпретировать как управление по оси x. Учитывая, что , где k – величина положительная, а также то обстоятельство, что величины и тоже положительные, можно представить в виде

(17)

где <0. Сила и перемещение здесь всегда имеют разные знаки, так как стремится ликвидировать смещение. В связи с этим составляющую будем называть стабилизирующей.

В противоположность составляющая всегда имеет положительную крутизну по , т.е. является дестабилизирующей составляющей. Естественно, одним из условий устойчивости подвеса является преобладание стабилизирующей составляющей над дестабилизирующей, т.е. должно выполняться соотношение <1.

Если учесть, что , где - величина линейной зоны подвеса, на границе которой , то

. (18)

Из (18) видно, что дестабилизирующая составляющая увеличивается с ростом линейной зоны ; с этой точки зрения наиболее выгодным является подвес с нулевой линейной зоной (релейное управление). Снижение дестабилизирующей составляющей возможно за счет роста коэффициента усиления k, однако здесь следует иметь в виду, что его увеличение может привести к потере устойчивости подвеса.

Оценим, как меняется соотношение составляющих (18) с ростом зазора.

Пусть тогда

при ,

при .

Здесь наблюдается незначительное увеличение соотношения с ростом зазора.

Итак, снизить дестабилизирующую составляющую можно путем увеличения коэффициента усиления k (снижения ) или уменьшения h.

Составляющая содержит нелинейные члены типа произведения смещения на квадрат управления по прямой и перекрестным осям, а также смещения на управление

по смежным осям. Она является, как и , дестабилизирующей. Относительную оценку величины запишем в виде

(19)

Максимальная оценка при

составит 2,76 % при , 2,71 % при , 2,65 % при , 2,19 % при . Здесь в отличие от наблюдается незначительное снижение соотношения с ростом зазора.

Составляющая содержит нелинейные перекрестные связи за счет потенциала ротора . Приближенная максимальная оценка отношения показывает, что происходит незначительное увеличение соотношения при с ростом зазора (0,35 % при , 0,45 % при ), а также приближенно пропорциональное снижение при уменьшении .

Проведенные оценки показывают, что при небольших смещениях ротора из центра подвеса и принятых мерах по минимизации его потенциала величины и малы и могут не приниматься во внимание (исключение составляет случай, когда подвес используется в прецизионном линейном акселерометре, где важно учесть все нелинейности силовой характеристики). В этом случае достаточно ограничиться составляющими и , т.е. рассматривать линеаризованную силовую характеристику, которую при запишем так:

(20)

Здесь - жесткость подвеса по оси x, - коэффициент усиления в канале стабилизации по оси x.

Соотношение между отдельными составляющими для проекцийи примерно те же, что и для .

Рассмотрим случай произвольных смещений. Результирующий вектор силы, выраженный через проекции на оси координат по абсолютной величине будет равен , а угол между вектором силы и направлением смещения ротора можно вычислить как

Очевидно, что полезная составляющая силы противоположна направлению смещения. Действительно, для возвращения ротора в центр подвеса необходимо, чтобы сила и смещение имели разные знаки. Назовем полезную составляющую восстанавливающей силой и будем вычислять ее как . Сила будет восстанавливающей в том диапазоне смещений, где .

Для обеспечения равножесткости при первом варианте управления (13) при работе подвеса в линейной зоне, мы вынуждены будем по оси x, где имеется двойная уставка напряжения, установить коэффициент усиления примерно в два раза меньший, чем по осям y и z, . Так как

то протяженность линейной зоны по оси x оказывается в четыре раза больше, чем по осям y и z.

Статические силовые характеристики, построенные для выбранных типоразмеров подвеса при смещении в плоскости , приведены на рис. 6. Здесь соответствует смещению по оси x в направлении электрода Э1, рис. 1, а - по оси y в направлении электрода Э2. Остальные углы определяют промежуточные направления смещения. Анализ кривых показывает, что характеристики практически равножестки при смещении в линейной зоне.

Важной характеристикой подвеса является величина предельного смещения, при которой сохраняются восстанавливающие свойства подвеса (). Как видно из рис. 6, максимальное относительное смещение . Это свойство подвеса следует учитывать при проектировании упоров с которых осуществляется первоначальное всплытие ротора. Расчеты также показывают, что при перемещении в плоскости , максимальное смещение возрастает до 0.7.

Статические силовые характеристики при втором варианте управления и смещении в плоскости приведены на рис. 7.