Красинский Александр Яковлевич

Разрабатываемый авторами метод исследования устойчивости и стабилизации положений равновесия систем с геометрическими связями применяется к устройству Ball & Beam. Для построения математической модели механической части стенда используются уравнения Шульгина в избыточных координатах. При исследовании устойчивости к уравнениям Шульгина необходимо добавить кинематические уравнения связей, полученные дифференцированием по времени уравнений геометрических связей. Уравнения первого приближения в окрестности положения равновесия рассматриваемой системы будут иметь нулевые корни, число которых равно числу связей. Несмотря на формальное сведение к особенному случаю Ляпунова, в системе с избыточными координатами возможна асимптотическая устойчивость равновесия. В данной работе построена более полная нелинейная модель механической части стенда Ball & Beam. При рассмотрении полной нелинейной связи определено еще одно новое положение равновесия системы. При наличии одной геометрической связи между двумя координатами в этой задаче возможны два варианта выбора избыточной координаты. Показано, что от выбора избыточной координаты существенно зависит выделение управляемой линейной подсистемы.

Для механических систем с геометрическими связями излагается разработанный М.Ф. Шульгиным способ получения уравнений движения без множителей связей, связанный с однократным дифференцированием уравнений связей. Получаемые таким образом уравнения движения голономных систем в избыточных координатах являются частным случаем уравнений для неголономных систем в форме Воронца в случае интегрируемости связей. Разрабатывается методика использования такой формы уравнений движения применительно к задачам устойчивости и стабилизации положений равновесия систем с избыточными координатами. Предлагаемый подход позволяет использовать в этих задачах основанные на применении теории критических случаев результаты, полученные авторами ранее для задач устойчивости и стабилизации неизолированных установившихся движений механических систем. При этом вопрос о неасимптотической устойчивости решался сведением задачи к особенному случаю применением теоремы Ляпунова-Малкина.В данной работе доказано, что учет ограничений, накладываемых связями на начальные возмущения, обеспечивает, несмотря на формальное сведение к особенному случаю, асимптотическую устойчивость положения равновесия, если число нулевых корней характеристического уравнения равно числу геометрических связей, а действительные части всех остальных корней отрицательны. Эффективность предлагаемого подхода подтверждена решением задачи стабилизации положения равновесия для реального мехатронного стенда GBB1005 Ball&Beam Educational Control System