НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Файл статьи: Btk143.pdf (576.61Кб)

УДК 517.987.4	Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

В работе систематическим образом описывается подход к решению начальных и начально-краевых задач для эволюционных уравнений, основанный на представлении соответствующих эволюционных полугрупп с помощью формул Фейнмана. В статье обсуждаются некоторые методы построения формул Фейнмана для различных эволюционных полугрупп, приведены конкретные примеры решения эволюционных уравнений. В частности, получены формулы Фейнмана для эволюционных полугрупп, порожденных мультипликативными возмущениями генераторов некоторых исходных полугрупп. При этом рассматриваются полугруппы на некотором банаховом пространстве непрерывных функций, определенных на произвольном метрическом пространстве; формулы Фейнмана строятся с помощью семейств операторов, эквивалентных по Чернову исходным, невозмущенным полугруппам. Настоящий результат обобщает работу автора «Формула Фейнмана для полугрупп с мультипликативно возмущенными генераторами» и некоторые результаты совместной с О.Г. Смоляновым и Р.Л. Шиллингом работы «Lagrangian and Hamiltonian Feynman formulae for some Feller processes and their perturbations». Подход к построению формул Фейнмана для полугрупп с мультипликативно и аддитивно возмущенными генераторами иллюстрируется на примерах задачи Коши для уравнения Шредингера, аппроксимации переходных вероятностей некоторых марковских случайных процессов.

Далее в работе рассматривается более широкий класс аддитивных и мультипликативных возмущений конкретного генератора – оператора Лапласа. При этом выводятся формулы Фейнмана для решения задачи Коши для параболического уравнения второго порядка с неограниченными переменными коэффициентами. Кроме того, в статье описывается метод построения формул Фейнмана для решения начально-краевой задачи Коши-Дирихле для дифференциального уравнения параболического типа. Метод также иллюстрируется на примере параболического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Настоящие результаты обобщают некоторые из результатов работы Бутко, Гротхауса и Смолянова «Lagrangian Feynman formulae for Second Order Parabolic Equations in Bounded and Unbounded Domains». В статье также обсуждаются некоторые формулы Фейнмана-Каца и интегралы Фейнмана, совпадающие с полученными формулами Фейнмана.

Список литературы

1. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. 728 c.
2. Бутко Я.А. Представления эволюционных полугрупп с помощью формул Фейнмана и интегралов Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве //  Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 2. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/315838.html (дата обращения 01.02.2014).
3. Бутко Я.А.   Формулы Фейнмана и функциональные интегралы для диффузии со сносом в области многообразия // Математические заметки. 2008.  Т. 83, № 3. С. 333-349. DOI: 10.4213/mzm3772
4. Бутко Я.А.  Формула Фейнмана для полугрупп с мультипликативно возмущенными генераторами // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2011. № 10. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/239563.html (дата обращения 01.02.2014).
5. Бутко Я.А., Гротхаус М., Смолянов О.Г. Формула Фейнмана для параболического уравнения второго порядка в области // Доклады Академии Наук. 2008. Т.  421, № 6. С. 727-732.
6. Бутко Я.А.,  Дурягин А.В. Формулы Фейнмана для семейства параболических уравнений, соответствующих тау-квантованию квадратичной функции Гамильтона // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2011. № 11. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/251251.html   (дата обращения 01.02.2014).
7. Бутко Я.А.,  Морозов А.В.  Представление решения задачи Коши-Неймана для параболического уравнения на полупрямой с помощью лагранжевой формулы Фейнмана // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2011. № 11. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/246219.html  (дата обращения 01.02.2014).
8. Бутко Я.А., Смолянов О.Г. Формулы Фейнмана в квантовой и стохастической динамике // Современные проблемы математики и механики. 2011. Т. 6, № 1. С.  61-75.
9. Бутко Я.А.,  Смолянов О.Г., Шиллинг Р.Л. Формулы Фейнмана для феллеровских полугрупп // Доклады Академии Наук. 2010. T. 434, № 1. C. 7-11.
10. Смолянов О.Г., Толстыга Д.С., Вайцзеккер Х.ф. Фейнмановское описание одномерной динамики частиц с кусочно-непрерывной зависимостью массы от координаты // Доклады Академии Наук. 2011. T. 441, № 3. C. 295-298.
11. Волконский В.А. Аддитивные функционалы от марковских процессов //  Труды Московского Математического Общества. 1960. T. 9. C. 143-189.
12. Обрезков О.О. Формула Фейнмана для задачи Коши-Дирихле в ограниченной области // Математические заметки. 2005. T. 77, № 2. C. 316-320. DOI: 10.4213/mzm2493
13. Орлов Ю.Н., Сакбаев В.Ж., Смолянов О.Г. Скорость сходимости  Фейнмановских аппроксимаций полугрупп, порождаемых гамильтонианом осциллятора // Теоретическая и математическая физика. 2012. T. 172, № 1. C. 122-137.
14. Портенко Н.И., Скороход А.В., Шуренков В.М. Марковские процессы //  Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.  Т. 46. Теория вероятностей-4. М.: ВИНИТИ, 1989. 248 с.
15. Albeverio S., Brzezniak Z. Oscillatory integrals on Hilbert spaces and Schrödinger equation with magnetic fields // J.Math. Phys. 1995. Vol. 36, no. 5. P. 2135-2156.
16. Baur B., Conrad F., Grothaus M. Smooth contractive embeddings and application to Feynman formula for parabolic equations on smooth bounded domains // Communications in Statistics: Theory and Methods. 2011. Vol. 40, no. 19-20. P. 3452-3464.
17. Brezis H., Pazy A. Semigroups of Nonlinear Contractions on Convex Sets // J. Func. Anal. 1970. Vol. 6. P. 237-281.
18. Böttcher B. On the construction of Feller processes with unbounded coefficients // Electronic Communications in Probability. 2011. Vol.16. P. 545-555.
19. Böttcher B., Butko Ya.A., Schilling R.L., Smolyanov O.G. Feynman formulae and path integrals for some evolutionary semigroups related to tau-quantization // Rus. J. Math. Phys. 2011. Vol. 18, no. 4. P. 387-399.
20. Butko Ya.A. Function integrals corresponding to a solution of the Cauchy-Dirichlet problem for the heat equation in a domain of a Riemannian manifold // J. of Math. Sci. 2008. Vol. 151, no. 1. P. 2629-2638.
21. Butko Ya., Grothaus M., Smolyanov O.G. Lagrangian Feynman Formulae for Second Order Parabolic Equations in Bounded and Unbounded Domains // Inf. Dim. Anal. Quant. Probab. 2010. Vol. 13, no. 3. P. 377-392.
22. Butko Ya.A., Schilling R.L., Smolyanov O.G.  Hamiltonian Feynman-Kac and Feynman formulae for dynamics of particles with position-dependent mass // Int. J. Theor. Phys. 2011. Vol. 50. P. 2009-2018.
23. Butko Ya.A., Schilling R.L., Smolyanov O.G. Lagrangian and Hamiltonian Feynman formulae for some Feller semigroups and their perturbations // Inf. Dim. Anal. Quant. Probab. Rel. Top. 2012. Vol. 15, no. 3. 26 p. DOI: 10.1142/S0219025712500154
24. Chernoff P. Note on product formulas for operator semigroups // J. Func. Anal. 1968. Vol. 2. P. 238-242.
25. Chernoff P. Product formulas, nonlinear semigroups and addition of unbounded operators // Mem. Am. Math. Soc. 1974. Vol. 140. 121 p.
26. Dorroh J.R. Contraction semi-groups in a function space // Pacific J. Math. 1966. Vol. 19, no. 1. P. 35-38.
27. Engel K. J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, 1995. 586 p.
28. Ethier S.E., Kurtz T.G. Markov Processes: Characterization and Convergence. New York: Wiley, 1986. 534 p. (Wiley Ser. Probab. Math. Stat.).
29. Feynman R. P. Space-time approach to nonrelativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. Vol. 20. P. 367-387.
30. Feynman R.P. An Operator Calculus Having Applications in Quantum Electrodynamics // Phys. Rev. 1951. Vol. 84. P. 108-128.
31. Freidlin M. Functional integration and partial differential equations.  Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1985. 545 p.
32. Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. Prentice-Hall, 1964. 427 p.
33. Gustafson K., Lumer G. Multiplicative perturbation of semigroup generators // Pacific J. Math. 1972. Vol. 41, no. 3. P. 731-742.
34. Jacob N. Pseudo-differential operators and Markov processes. Vol. I-II.   Imperial College Press, 2001. 946 p.
35. Karatzas I., Shreve S. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, 1991. 470 p.
36. Kühnemund F. Bi-continuous semigroups on spaces with two topologies: theory and applications. Dissertation der Mathematischen Fakultät der Eberhard–Karls–Universität  Tübingen zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften, 2001. 104 p.
37. Lunardi A. Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems. Birkhäuser, 1995. 424 p.
38. Lumer G. Perturbation de générateurs  infinitésimaux du type "changement de temps" // Ann. Inst. Fourier. 1974. Vol. 23, no. 4. P. 271-279.
39. Obrezkov O., Smolyanov O.G., Truman A. The Generalized Chernoff Theorem and Randomized Feynman Formula // Doklady Math. 2005. Vol. 71, no. 1. P. 105-110.
40. Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations.  New York: Springer-Verlag, 1983. 276 p.
41. Plyashechnik A.S. Feynman formulas for second-order parabolic equations with variable coefficients // Rus. J. Math. Phys. 2013. Vol. 20, no. 3. P. 377-379.
42. Plyashechnik A.S. Feynman Formula for Schrödinger-type equations with time- and space-dependent coefficients // Rus. J. Math. Phys. 2012. Vol. 19, no. 3. P. 340-359.
43. Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics. V. II. Academic Press, 1980. 361 p.
44. Sakbaev V.G., Smolyanov O.G. Dynamics of a Quantum Particle with Discontinuous Position-Dependent Mass // Doklady Math. 2010. Vol. 82, no. 1. P. 630-634.
45. Sato K. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge Univ. Press, 1999. 486 p.
46. Smolyanov O.G. Feynman type formulae for quantum evolution and diffusion on manifolds and graphs // Quant. Bio-Informatics, World Sc. 2010. Vol. 3. P. 337-347.
47. Smolyanov O.G., Shamarov N.N. Feynman and Feynman-Kac formulae for evolution equations with Vladimirov operator // Doklady Math.  2008. Vol. 77, no.  3. P. 345-349.
48. Smolyanov O.G., Tokarev A.G., Truman A.  Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula // J. Math. Phys. 2002. Vol.  43, no. 10. P. 5161-5171.
49. Smolyanov O.G., Weizsäcker H.v., Wittich O. Chernoff's theorem and the construction of semigroups // Evolution Equations: Applications to Physics, Industry, Life Sciences and Economics. Birkhäuser, Prog. Nonlinear Differ. Eq. Appl. 2003. Vol. 55. P. 349-358.
50. Smolyanov O.G., Weizsäcker H.v., Wittich O. Chernoff's Theorem and Discrete Time Approximations of Brownian Motion on Manifolds // Potent. Anal.  2007. Vol. 26, no. 1. P. 1-29.
51. Weizsaecker H.v., Winkler G. Stochastic Integrals: an Introduction. Vieweg, 1990. 332 p.
52. Zhang G., Jiang M. Parabolic equations and Feynman-Kac formula on general bounded domains // Sci. in China. 2001. Vol. 44, no. 3. P. 311-329.