УДК 004.7:519.8

С.В.Мищенко,

В.Е.Подольский,

С.С.Толстых

 

 Тамбовский государственный технический университет

 

 

Компьютерные сети в сфере образования – важный аспект современного общества. Качество обучения напрямую зависит от уровня компьютеризации, предполагающего сейчас активное участие подавляющего большинства компьютеров образовательного учреждения в телекоммуникациях. Появилось понятие РОКС – региональные образовательные компьютерные сети. В начале существования они функционировали, как правило, в масштабах одного вуза. По мере развития, количество абонентов сети увеличивалось с каждым годом, и география РОКС расширилась до масштабов региона. Абонентами сети постепенно становятся практически все образовательные и научные организации областей России. С развитием глобальной сети Интернет сфера образования в отдельной области становится элементом российского и международного образовательного информационного пространства [1-9].

По мере укрупнения РОКС наблюдался неуклонный рост расходов на ее поддержку и развитие. В развитие РОКС на разных этапах вкладывались весьма значительные денежные средства. Стало актуальным решение вопроса о самоокупаемости затрат на функционирование сети. Каждый следующий этап развития РОКС по отношению к предыдущему нуждался в строгом экономическом обосновании. В связи с этим возникла задача повышения эффективности работы РОКС в настоящем и будущем. Для этого необходим математический аппарат, на основе которого можно было бы проиграть различные варианты развития РОКС, в зависимости от прогноза потребностей в услугах сети и с учетом передового зарубежного и российского опыта.

В качестве теоретической основы имитационного моделирования РОКС предлагается использовать научные достижения в области структурного анализа и теории сложности. Основанием к этому являются попытки охватить реальные масштабы РОКС как системы большой размерности. В этом случае неизбежен переход от традиционных способов представления математической модели сети к рассмотрению ее структурных свойств, оказывающих превалирующее влияние на получение знаний по сравнению со статистическим анализом сетевого трафика в отдельных узлах.

Применительно к РОКС рассматривается понятие «структурная сложность» и используются соответствующие приемы моделирования, основанные на оценке этой обобщенной характеристики структурных свойств большой системы. Предлагается философия рассмотрения структуры РОКС на уровне замкнутой системы, состоящей из совокупности сильно связных подсистем. Внешние связи РОКС моделируются введением в систему конечного числа объектов внешней информационной среды, связанных с региональным базисом. Свойства связей и размерность могут меняться во времени, но представление РОКС как целостной замкнутой системы при этом сохраняется, причем как на уровне трендов активности, так и на этапах ее эволюции.

На рис. 1 представлена иллюстрация к развитию теории сложности, где обозначены место и роль наших концепций. На этом рисунке показано, что в составе теории сложности, помимо традиционных понятий «сложности вычислений» и «алгоритмической сложности» появилось новое направление – структурная сложность. Этот вид сложности стал теперь сугубо количественной характеристикой технической системы, взамен общефилософских концепций. Пользуясь понятием «термодинамическая сложность» И.Пригожина, мы оцениваем состояние технической системы путем наблюдения за информационной энтропией – величины, которая по отношению к сложности является обратной. Чтобы уточнить связь этих понятий, потребуется ввести в рассмотрение алгебру сложности, и, в том числе, единичную сложность.

Рис. 1. Место и роль концепций структурной сложности

 

Познание сложности явлений и систем всегда имело тенденцию к переходу от качественного на уровень количественного анализа. Главным препятствием к этому было и остается механизм перевода общечеловеческих понятий «сложнее», «проще» на кибернетический уровень (рис. 2). Наибольших успехов здесь добилась вычислительная математика, где вопросы оценки сложности вычислений уже давно стали привычной механикой доказательств. Однако в области системного анализа имеется еще много неизученного, если речь идет о сложности и, прежде всего, это касается сложности структур, моделируемых с использованием понятия «орграф».

Количественный уровень познания сложности предполагает невозможность или бесполезность назначения семантических оценок сложности типа «сложнее/проще» и начинается с обозначения границ системы, в рамках которой находится исследуемое явление. Применительно к РОКС можно сказать, что ее границы обозначены масштабами самого региона (области, края), а явление, подлежащее моделированию – телекоммуникационные взаимодействия. Здесь важно отметить, что не всякое моделируемое явление подлежит структуризации, т.е. порой структура взаимодействий отдельных объектов в системе может быть совершенно непознаваема. Структура взаимодействий объектов РОКС (узлов сети), наоборот, совершенно очевидна, но, тем не менее, структуризация в данном случае должна сопровождаться агрегированием (т.е. в структуру РОКС не обязательно включать абсолютно все компьютеры, которые могут быть подключены к сети).

 

Рис. 2. Соотношение качественного и количественного уровня познания сложности

 

Начальным этапом развития теории структурной сложности является оценка сложности такого известного математического объекта как орграф , где , ,  и  – соответственно, множества вершин, дуг и весов. Если , то орграф можно рассматривать как не взвешенный, и его структурная сложность  может оцениваться по формуле

,

(1)

где  – мощность множества контуров орграфа . Для учета весов дуг требуется ввести в рассмотрение ряд матричных представлений орграфа, причем сначала традиционные – а затем модифицированные варианты:

1. матрица смежности
2. матрица достижимости ,
3. матрица инцидентности
4. матрица контуров в которой участвует
    – множество контуров,  – предикат повторений вершин (равен 1, если вершина участвует в контуре не единожды).

Матрица достижимости служит для выявления сильно связных подсистем (бикомпонент) (см. иллюстрацию на рис. 3) при удалении дуг из орграфа и для проверки его сильной связности: нас интересуют только сильно связные орграфы, для которых .

Модифицированные матричные представления (учитывается вес):

1. взвешенная матрица смежности
2. взвешенная матрица инцидентности 
   (см. иллюстрацию на рис. 4);
3. взвешенная матрица контуров 
   на рис. 5 приведен пример сильно связного орграфа, а в таблице 1 – соответствующая взвешенная матрица контуров; видно, что нумерация  дуг соответствует убыванию числа вхождений в контуры, по этому признаку (вводится термин «контурность») образуются подматрицы из столбцов, причем внутри подматриц дуги нумеруются в порядке возрастания веса.

 

Рис. 3. Использование матрицы достижимости для выявления сильно связных подсистем

Рис. 4. Информационная сущность взвешенной матрицы инцидентности

Рис. 5. Пример сильно связного орграфа

 

 

 

Таблица 1. Взвешенная матрица контуров для орграфа на рис. 5

		2	1	3	7	8	6	1	8	7	2	4	5	3	6	6	3	4	4	5	5
		3	2	4	6	7	1	8	1	8	1	5	6	8	5	7	2	3	7	2	4
К о н т у р ы	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	72 72 72 72 72       72   72 72	14 14 14 14 14 14             14	12 12 12 12           12 12	42       42 42       42 42 42	10 10       10 10   10	8   8                 8 8	12 12 12         12	20   20 20 20	3   3                     3	21             21 21	24 24                 24	2 2	2             2	4 4	6                       6	10 10	16   16	22 22	30       30	1
Вес дуги		9	2	2	7	2	2	3	5	1	7	8	1	1	2	3	5	8	11	15	1
Контур-ность		8	7	6		5	4			3			2								1

 

Дуга (2→3) называется наиболее приоритетной, т.к. имеет наибольшую контурность (если таких дуг несколько, то она, кроме наибольшей контурности, должна иметь минимальный вес). Анализ сложности предполагает поэтапное упрощение сильно связного орграфа, вплоть до состояния, когда в орграфе не останется ни одного контура (случай дерева). Поэтому для наискорейшего упрощения орграфа резонно разорвать именно ту дугу, которая чаще всех других входит в контуры и при этом ее вес, образно говоря, небольшой.

По аналогии с критерием структурной сложности не взвешенного орграфа вводится критерий сложности взвешенного орграфа. Он базируется на новом понятии – «матрица сложности»

.

(2)

На рис. 6 показана связь формулы (2) с формулой (1). Из этого рисунка видно, что число дуг  во взвешенном случае заменяется произведением взвешенных матриц смежности и инцидентности, а число контуров  – транспонированной взвешенной матрицей контуров.

Критерий структурной сложности взвешенного орграфа представляет собой проецирование матрицы сложности в пространство , т.е. фактически это норма матрицы сложности. В качестве нормы предлагается норма, согласованная с евклидовой нормой вектора, а именно

,

(3)

где  – собственные числа.

Рис. 6. Аналогия между структурными сложностями не взвешенного и взвешенного орграфов

 

Для верификации критерия (3) нам потребуется понятие «критической дуги». Это дуга, разрыв которой приводит орграф к дереву. На рис. 7 показан так называемый «гамак» – орграф с единственной критической дугой.

Возникает вопрос: всегда ли критическая дуга орграфа является наиболее приоритетной при упрощении, благодаря которому мы познаем структурную сложность? Для ответа на этот вопрос потребуется ввести определение меры приоритетности дуги

.

(4)

 

Рис. 7. Гамак с критической дугой (1→2)

 

Поясним формулу (4):

-         – мера приоритетности дуги ; функция имеет один аргумент и параметр  (отделен знаком «;»);

-         – структурная сложность орграфа , в котором дуге  присвоен вес  с приращением ;

-        мера приоритетности – по характеру формирования – мультипликативная величина, что объясняется необходимостью баланса структурных и алгебраических свойств дуги при оценке структурной сложности;

-        алгебраические свойства взвешенной дуги проявляются в первом сомножителе: чем вес больше, тем приоритет дуги меньше;

-        структурные свойства дуги оцениваются вторым сомножителем – чем меньше приращение сложности в числителе дроби, тем в меньшей мере дуга может повлиять на оценку структурной сложности; фактически это приближение к частной производной структурной сложности по весу дуги.

На рис. 8 показан (на качественном уровне) характер изменения приоритетности дуг орграфа. Продемонстрировано, что при одинаковых весах дуг (случай ) приоритетность монотонно падает по мере возрастания индекса дуги. Таким образом, в этом случае наиболее приоритетная дуга имеет индекс 1. Если вес  искусственно увеличивать, индекс наиболее приоритетной дуги смещается вправо.

Рис. 8. Приоритетность дуги

 

На рис. 9 показано явление структурной бифуркации для изначально не взвешенного орграфа () со структурой, идентичной орграфу, показанному на рис. 5. Интересно отметить, что, начиная со значения , дуга  перестает быть наиболее приоритетной.

Рис. 9. Структурная бифуркация

Таким образом, критерий структурной сложности , вычисляемый по формуле (3), позволяет оценивать сложность взвешенного орграфа. С его помощью выявляется дуга с наибольшей приоритетностью, указывающая на наискорейший путь упрощения орграфа с целью познания его сложности.

Цель анализа структурной сложности, соответствующая формуле (3) – сортировка орграфов. В нашем случае РОКС – сложная техническая система и для оценки ее структурной сложности необходимо дальнейшее развитие критериев.

В таблице 2 дан перечень новых операторов, действующих на два абстрактных объекта. Они необходимы для изложения концепций структурной сложности замкнутых детерминированных технических систем со следующим формальным представлением

.

(5)

Таблица 2. Перечень новых операторов

Обозначение	Формализация
1. Связывание
2. Следование
3. Обобщенное  «ИЛИ»
4. Обобщенное «И»
5. Характеризация
6. Конкретизация
7. Соответствие

 

В представлении системы (5)  обозначает факт того, что объект  предшествует объекту . Далее нам потребуется ряд определений.

Множество дуг системы

,

(6)

где  означает, что между объектами действует непосредственная связь.

Множество достижимостей систем

.

(7)

Замкнутость и сильная связность обозначаются одинаково:  (система) и  (структура). Тогда условие сильной связности может быть записано следующим образом

.

(8)

Подсистема – аналог сильно связной подсистемы орграфа

,

(9)

где  – постулат, читаемый как «дескриптор» (в данном случае это дескриптор системы ). Иллюстрация к определению подсистемы дана на рис. 10.

Рис. 10. Иллюстрация к определению подсистемы

Формальное определение абстрактной системы

,

(10)

где  – абстрактор, т.е. формализм, конкретизируемый по мере увеличения объема знаний.

В соответствии с (10) двух абстрактных одинаковых систем не существует, т.е.

.

(11)

РОКС – параметризованная система (см. рис. 11). Мы идентифицируем структуру системы, но не утверждаем, что охватываем все возможные взаимодействия в системе.

Рис. 11. Параметризованная система: стрелки показывают аналогию с орграфами

Формализация структурной сложности замкнутой детерминированной технической системы подразумевает, что должны быть найдены соответствующие этой задаче дескрипторы, которые, являясь непротиворечивыми, описывают искомую шкалу полностью и досконально. В свою очередь, шкала структурной сложности должна отражать цель анализа системы. Основными дескрипторами шкалы структурной сложности являются набор аксиом сложности и ее алгебра.

Сначала вводится понятие «нулевая структурная сложность» (). Сложность  системы равна , только в случае, если  не содержит ни одной подсистемы (подсистемы по определению (9))

.

(12)

 

Алгебра структурной сложности должна содержать операции сложения и умножения для подсистем :

 

1.   сложение сложностей, :

2.   Умножение сложностей, :

Наряду с нулевой структурной сложностью необходимо ввести единичную структурную сложность

.

(15)

Следуя постулатам И.Пригожина, познание сложного производится путем упрощения – в данном случае необходимо выбрать дугу , удалить ее из системы, затем выбрать для удаления  и т.д. Общее число удалений (разрывов) обозначим . Выбор дуг для разрывов подобен процедуре решения системы нелинейных уравнений методом Зейделя и имеет рекурсивную архитектуру. Доказана теорема о рекурсивности структурной сложности, согласно которой  связана отношением прямой пропорциональности с рекурсивным итератором системы

.

(16)

Иллюстрацией (16) может служить рис. 12.

Рис. 12. Варианты состояния  после разрыва итератора : 1 – разрыв первый и последний; 2 – образуется иерархия подсистем; 3 – система остается сильно связной

 

Если нам удалось найти последовательность разрывов, которая минимизирует структурную сложность , то ее можно назвать оптимальной, а соответствующую оценку сложности – конструктивной и отвечающей цели анализа. Согласно нашей цели анализа, познание сложной системы должно подразумевать наличие математического описания объектов, структуру связей между ними; в таком случае, процесс познания сложности подобен нахождению оптимального расчетного модуля системы из математических моделей. Иллюстрация к вышесказанному дана на рис. 13 и рис. 14.

Рис. 13. Оптимальная последовательность разрывов

Опуская подробности (см. [11]), общий вид критерия структурной сложности можно упрощенно представить в следующем виде

,

(17)

где  – число подсистем, образованных разрывом дуги , имеющей вес .

Важнейшим приложением теории структурной сложности может являться РОКС как техническая система большой размерности, поведение которой с трудом поддается осмыслению и количественному анализу. Вес дуги в РОКС является безразмерной величиной, вещественным числом. Это доля стоимости трафика абонентов сети в отношении к затратам на обслуживание линий связи.

Проблематика РОКС показана на рис. 15. Более подробно эти аспекты отражены в работах [12-16].

 

Рис. 14. Иерархия расчетного модуля системы

 

Рис. 15. Проблематика РОКC

Ставятся две задачи, которые необходимо решать на уровне РОКС. На рис. 16 показаны главные тенденции к постановке этих задач, показано, что двухзадачный комплекс подразумевает взаимодействие задач на уровне их взаимопроникновения.

Рис. 16. Основные тенденции решения проблем системного анализа РОКС

Без ограничения общности, для исследования структуры РОКС применяем взвешенные орграфы. В данном случае

1.   РОКС структурируется орграфом динамического развития  , где  – текущее время имитационного моделирования (используем сокращенную запись, в которой дуга включает в себя ее вес, т.е. это пара);

2.    – множество вершин, ассоциируемое с узлами сети в условиях проведенного агрегирования;

3.    – множество дуг, исходящих из вершин  и заходящих в вершины  в момент времени  с весом ; верхний индекс «0» обозначает начальный уровень структуризации, без учета внешних связей.

Предполагается, что за период имитационного моделирования число вершин орграфа остается неизменным, тогда как множество дуг (связей между узлами сети) может меняться как во времени, так и в информационном пространстве. В каждый отдельно взятый момент времени орграф системы  можно классифицировать как взвешенный с числом вершин  и числом дуг . Рассматривается период прогнозирования , который делится на  частей, причем не обязательно равномерно.

Число  выбирается достаточно большим: таким, чтобы на любом из интервалов времени  свойства орграфа не менялись.

Внешние связи региональной компьютерной сети рассматриваются как множества  и , соответственно, для входящего и исходящего трафиков. Если узел с номером  в момент времени  не имеет самостоятельного выхода во внешнюю информационную среду, то . В противном случае входящий трафик –го узла с внешней стороны оценивается функцией  – это его суммарная стоимость за интервал времени , в течение которого полагаем ; исходящий трафик  оценивается аналогичным образом по соответствующим расценкам.

Для оценки структурной сложности РОКС предлагается использовать преобразование , в соответствии с которым внешние связи отдельного узла  преобразуются в пару дуг и вершину , как показано на рис. 17.

Рис. 17. Учет внешних связей РОКС

 

В результате преобразования, после переиндексации, получается орграф , для которого необходимо вычислить структурную сложность . Политика модернизации структуры региональной сети  включает в себя изменения пропускной способности отдельных ветвей  за счет увеличения производительности серверов, перераспределения нагрузки в сети и изменениях контента Web-серверов.

Политика  должна строиться таким образом, чтобы сложность  на периоде времени   менялась как можно меньше, и формулируется это в виде следующей задачи оптимального управления:

;	(18)
;	(19)
,	(20)

исходя из допущения, что энтропия сложных информационных систем связана со структурной сложностью монотонной зависимостью. В задаче (18)–(20) присутствуют:

–      – траектория развития внешнего окружения рассматриваемой сети;

–      и  – соответственно, стоимость политики модернизации сети и ее верхний предел.

Оценку структурной сложности производим на основе матричного критерия с внутренней полиномиальной вычислительной сложностью. Для упрощения системы обозначений в последующих выкладках время  не используется.

Для нахождения сильно связных подсистем используется оператор структурной декомпозиции :

,	(21)
, .	(22)

В нахождении структурной сложности на всех уровнях рекурсии участвует конденсированная форма орграфа . Операции конденсации подразумевают схлопывание вершин при обнаружении транзитивных дуг с последующим склеиванием параллельных дуг (если они при этом появляются). Иллюстрация к правилам конденсации орграфа показана на рис. 18.

Рис. 18. Иллюстрация к правилам конденсации орграфа РОКС

Для нахождения  с использованием параллельных вычислений решается задача

.

(23)

Параллельные вычисления необходимы в данном случае из-за большой размерности решаемой задачи и ее высокой внутренней вычислительной сложности.

Рассмотрим матричный критерий применительно к орграфу , нумерация дуг в котором подчиняется правилу , и, перед вычислением сложности  считается конденсированным по правилу , так что в нем изначально нет транзитивных вершин:

(24)

где –тая дуга орграфа обозначается упрощенно .

Аксиоматика сложности РОКС порождает матричный критерий сложности – критерий предпочтительности

(25)

где значок ^* означает оптимальность иерархической кластеризации, когда используются все имеющиеся ресурсы региональной сети, причем для связей между подзадачами предпочтительными являются каналы наибольшей мощности с наименьшей загрузкой; индекс «1» означает, что дуга  лежит на поверхности рекурсии; значок  – предикат связывания слоев рекурсии; обозначение  используется для конкретизации –той бикомпоненты (из общего их числа ), образовавшейся в результате действия оператора структурной декомпозиции   на орграф  без дуги , в котором транзитивные и параллельные ветви конденсируются по правилу . При выводе критерия (25) полагалось, что вес любой дуги – вещественное число, а перед рекурсивным ветвлением  производится поиск наиболее предпочтительной дуги  – решается задача на поиск максимума.

Критерии (17) и (25) применительно к РОКС являются двойственными, порождая одну и ту же иерархию распараллеливания.

Ставим задачу поиска научно обоснованной стратегии реконструкции РОКС при наличии трендов (медленных изменений) и флуктуаций нагрузки на информационные каналы связи, активности пользователей.

Анализ возможных путей развития сети осуществляется на базе  параметризации структуры сети, представляемой в виде сильно связного ориентированного взвешенного орграфа. На рис. 19 иллюстрируется задача поиска времени ближайшей реконструкции. Сплошными линиями условно показано состояние орграфа РОКС без мероприятий реконструкции. Пунктирными линями изображены новые узлы и линии связи, ввод которых планируется осуществить. Состав нововведений считается известным. Требуется найти  оптимальное время реконструкции: излишне ранняя реконструкция чревата тем, что она не предусматривает появление более совершенного оборудования в будущем, поэтому по вложениям денежных средств реконструкция может оказаться сравнимой с отложенной, срок же еще одной реконструкции может оказаться ощутимо близко.

Рис. 19. Поиск времени проведения ближайшей реконструкции

 

Излишне поздняя реконструкция также опасна: состав нововведений может оказаться недостаточным для покрытия возросших к этому времени запросов пользователей. Предлагается обобщить результаты статистического анализа на базе исследования поведения структурной сложности во времени. Для оценки структурной сложности в детерминированной сети нами используется рекурсивный критерий структурной сложности (17).

Вводится понятие «стохастическая структурная сложность»: это случайная величина , природа случайности которой базируется на происходящих в сети случайных изменениях активности пользователей, сбоях в прохождении пакетов и т.д. Здесь  – орграф со случайной структурой, в котором число вершин и дуг, а также их вес – дискретные случайные величины.

Для оценки стохастической структурной сложности используется статистика слежения за состоянием РОКС, по которой сначала производится выделение трендов на заданном периоде рассмотрения и выявление устойчивых колебаний нагрузок  каналов, а затем – выделение случайной составляющей (по известным методикам). На основе этой информации производится параметризация стохастического состояния РОКС, итогом которой является назначение дугам орграфа весов в виде функций

,

(26)

где  – тренд;  – случайная составляющая. Действие формулы (26) ограничивается периодом времени , полученным в результате анализа периодичности. Число  дуг орграфа РОКС считается фиксированным (максимально возможным), а случайное исчезновение вершин моделируется назначением континуального веса дугам, смежным с исчезающей вершиной. Законы распределения величин  нам известны из анализа статистики, а для генерации случайных чисел используются датчики, согласованные с соответствующими гистограммами. В процессе имитационного моделирования работы РОКС на заданном периоде рассмотрения производится многократный расчет сложности по формуле (17) и нахождение закона распределения методом Монте-Карло.

Качество QoS обслуживания работы РОКС оценивается по дисперсии стохастической структурной сложности . На рис. 20 дана иллюстрация к оценке QoS. По оси ординат откладываются значения функции плотности распределения стохастической структурной сложности . Для поддержания качества обслуживания сети на заданном уровне в сети должна решаться задача оптимизации процесса маршрутизации [10]. Только в этом случае можно решать задачу о принятии решений по реконструкции РОКС отдельно от QoS (см. рис. 19).

Рис. 20. Соответствие между дисперсией стохастической
структурной сложности и QoS

 

Задача принятия решения по назначению времени ближайшей реконструкции иллюстрируется на рис. 21. Показано, что прогнозное время ближайшей реконструкции определяется моментом, когда колебания (или неуклонный рост) информационной энтропии, вычисляемой как величины, обратной к математическому ожиданию  стохастической структурной сложности, станет выходить за пределы диапазона допустимых колебаний. Это свидетельство неспособности сети, несмотря на все усилия по поддержанию QoS, справляться с изменениями, происходящими в РОКС.

Рис. 21. Решение задачи принятия решения по назначению времени ближайшей реконструкции РОКС

 

Таким образом, на основе теории сложности удается прогнозировать время ближайшей реконструкции при известном составе ее мероприятий. Наблюдение за состоянием РОКС должно осуществляться при поддержании заданного уровня QoS. Предложенная методика нашла применение в практических мероприятиях по реконструкции РОКС Тамбовской области.

 

Список используемых источников

 

1.     Подольский В.Е., Писецкий А.Ф. Использование Internet – и Intranet-технологий в сфере образования Тамбовской области // Материалы международной научно-методической конференции «Новые информационные технологии в университетском образовании». – Новосибирск, 1998. – С. 166 – 168.

2.     Подольский В.Е. Создание инфраструктуры системы открытого образования. // Информатика и образование. 2001. – № 4. – С. 11 – 18.

3.     Подольский В.Е., Храпов И.В., Овсянкин Т.В. Интеграция действующих систем управления ВУЗом в распределенной корпоративной сети ТГТУ // Тезисы докладов международной научно-методической конференции «Телематика - 2000». - СПб., 2000. - С. 62 – 63.

4.     Храпов И.В., Мищенко С.В., Подольский В.Е., Букреев Д.В. Архитектура корпоративной информационной системы поддержки принятия решений. // Вестник ТГТУ. 2003. – Т. 9, – № 1. - С. 30 – 33.

5.     Мищенко С.В.,  Подольский В.Е. Тамбовский государственный технический университет – центр информатизации региона // Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции «Перспективные информационные технологии в высшей школе». – Тамбов, 1995. – С. 7 – 8.

6.     Подольский В.Е., Писецкий А.Ф., Бродович С.М. Тамбовская область в Интернет // Тезисы докладов  Всероссийской научно-методической конференции «Телематика-99». - СПб., 1999. – С. 136 – 137.

7.     Подольский В.Е., Писецкий А.Ф., Инькова Н.А. Опыт ТамбовЦНИТ по развитию научно-технического международного сотрудничества и вовлечению вузов в международное информационное образовательное пространство // Тезисы и доклады научно-практической конференции «Региональная стратегия вхождения вузов в международное образовательное и научное пространство». – Тамбов, 2000. – С. 36 – 37.

8.     Подольский В.Е. Десять лет работы Тамбовского государственного технического университета в качестве образовательного Интернет-провайдера // Труды Всероссийской научно-методической конф. «Телематика-2002», 3-6 июня 2002 г. – СПб., 2002. – С. 75 – 76.

9.     Подольский В.Е., Писецкий А.Ф., Севастьянов С.Ю. Internet в сфере образования и науки Тамбовской области // Сб. докл. конф. Ассоциации научных и учебных организаций пользователей сетей передачи данных Relarn «Relarn'97», 16-17 декабря 1997 г. – Н. Новгород, 1997. – С. 12 – 14.

10.  Куракин Д.В. Основы маршрутизации в телекоммуникационных сетях // Учеб. пособие. – М.: МГИРЭА, 2000. – 68 с.

11.  Подольский В.Е., Толстых С.С. Повышение эффективности региональных образовательных компьютерных сетей с использованием элементов структурного анализа и теории сложности. – М.: Машиностроение-1, 2006. – 176 с.

12.  Тихонов А.Н., Мищенко С.В., Подольский В.Е., Толстых С.С. Особенности математического моделирования современных компьютерных сетей в образовательной сфере. // Телематика-2003, Т.1, Санкт-Петербург, 2004. – С.78 – 79.

13.  Подольский В.Е., Толстых С.С. Структурная оптимизация региональной образовательной компьютерной сети // Сб. трудов междунар. научно-техн. конф. «Информационные технологии в науке, технике и образовании». – Т.1. – Аланья-Севастополь, 2004 г., С.56 – 58. Подольский В.Е., Толстых С.С. Оптимизация кластерных вычислений с использованием критериев структурной сложности // Вторая Сибирская школа-семинар по параллельным вычислениям. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. – С.45 – 50.

14.  Подольский В.Е., Толстых С.С. Оценка эффективности функционирования региональной образовательной компьютерной сети на основе критериев структурной сложности // Сб. трудов научно-практической конф. КБД-ИНФО-2004. – Сочи, 2004 г., С.159.

15.  Подольский В.Е., Толстых С.С. Использование критериев структурной сложности для имитационного моделирования региональных компьютерных сетей // Сб. статей «Параллельные вычисления в задачах математической физики». – Изд-во РГУ. – Ростов, 2005. – С.67-75.

16.  Podolskiy V.E. The use of stochastic structural complexity criteria for acceptance of decisions on reconstruction of a regional educational computer network // Materials of the International Scientific Conference “Information technologies in Education and Scientific research”. – Ege University. – 2005, pp. 234 – 237.