НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

sosn@bmstu.ru

popov@bmstu.ru

Введение

Задача автоматического регулирования давления на входе в магистральный насос при аварийном отключении электродвигателя насосного агрегата возникает в связи с необходимостью снижения нагруженности стенок магистральных трубопроводов. Один из способов обеспечения такого снижения основан на автоматическом регулировании скорости увеличения давления на входе в насос с помощью системы сглаживания волн давления (ССВД), имеющей клапан на насосном агрегате.

Для обеспечения допустимых изменений давлений, расходов жидкости и частот вращений насосных агрегатов целесообразно выполнять расчеты нестационарных процессов [1]. Необходимые для расчетов математические модели рассматриваемых систем с насосными агрегатами могут быть представлены в виде дифференциальных уравнений и полученных на основе этих уравнений структурных схем [2, 3]. Последний метод позволяет конструктору в диалоге с ЭВМ достаточно просто моделировать различные ситуации, при которых происходят нестационарные процессы, находить способы и параметры управления этими процессами.

1 Уравнения, описывающие нестационарные процессы

 в насосном агрегате

Исходным в рассматриваемом математическом описании переходных процессов является уравнение движения ротора насосного агрегата [4]

,                                                                            (1)

где J - суммарный момент инерции ротора электродвигателя и рабочего колеса насоса;

Ω - угловая скорость вала насосного агрегата;

M_дв - вращающий момент электродвигателя;

M_н - момент сопротивления, создаваемого рабочим колесом насоса.

Вращающие моменты связаны с угловой скоростью вала насосного агрегата, мощностью N_дв электродвигателя и мощностью N_н насоса соотношениями

N_дв = M_дв Ω ,

N_н = M_н Ω.

С помощью этих двух соотношений уравнение (1) приводится к виду

.                                                   (2)

Мощность, потребляемая насосом, которая входит в формулу (2), равна

.                             (3)

В формуле (3) величина  η_н - КПД насоса, входит в функцию

.                                                  (4)

При переходных процессах функция (4) может отличаться от напорной характеристики насоса, выключение электродвигателя насоса происходит  практически мгновенно, что позволяет принять при математическом моделировании  N_дв = 0.

Для предварительных расчетов переходных процессов желательно, по возможности, иметь линеаризованные математические модели, с помощью которых получаются  достаточно  обозримые результаты о влиянии различных факторов на изучаемые процессы. Последующее уточнение расчетов можно осуществить, учитывая в исходной модели существенные для данной системы нелинейности. В соответствии с этими фундаментальными положениями теории управления ниже приведены уравнения, описывающие зависимость мощности насоса от нестационарных значений напора и расхода. Для линеаризации функцию (3) следует разложить в ряд Тейлора и удержать в нем члены, содержащие отклонения КПД, напора и расхода от своих начальных значений в степени не выше первой. Таким способом находится уравнение

.                             (5)

В уравнении (5) индексы означают: "0"- начальное  значение величины,

"н" - величина относится к насосу, "н1" - величина относится к одному из последовательно работающих насосов.

Угловая скорость вала насосного агрегата в режиме «выбега» (после отключения электропривода) определяется соотношением

.                        (6)

С помощью формул (5) и (6) уравнение (2) при N_дв= 0 приведено к виду

.      (7)

Изменения напоров и расходов насосов, работающих на насосной станции (НС) последовательно, связаны уравнением баланса напоров и равенством расходов, протекающей через насосы жидкости, поэтому

H_НС = H_ОСТ + H_н1,

где H_НС - общий напор в гидросистеме;

H_ОСТ - напор оставшихся насосов после отключения одного насоса;

H_н1 - напор отключенного насоса, работающего в режиме выбега.

Отклонение ΔH_НС от своего установившегося значения происходит вследствие гидравлического удара в трубопроводах НС, его значения определяет соотношение

,                                                 (8)

где Δp_вх и Δp_вых - вызванные гидравлическим ударом отклонения давлений в трубопроводах на входе и выходе НС.

Указанные выше изменения давлений можно находить по уравнениям, описывающим гидравлический удар. При этом, заменив скорости жидкости  на объемные расходы, имеем:

 _{,                                                       (9)}

.                              (10)

В формулах (9) и (10) величины ΔQ и ΔQ_н1 - отклонения объемных расходов от установившихся значений соответственно в сечениях трубопроводов на входе и выходе НС, причем ΔQ_н1 равно отклонению расхода на входе в насос с отключенным электродвигателем.

Величина ΔH_НС должна быть, кроме того, равна суммарному отклонению напоров насосов, что дает возможность привести уравнение (8) к виду

.                                     (11)

В уравнение (11) входят коэффициенты линейной аппроксимации напорных характеристик насосов. Коэффициент  определяет изменение  напора насоса с отключенным электродвигателем в зависимости от изменения угловой скорости его вала, а коэффициент K_С определяет суммарное отклонение напора насосов в зависимости от отклонения проходящего через них расхода жидкости. Этот коэффициент равен

.                                                                 (12)

В сумме (12) величина (K_HQ)_н1 - это коэффициент, определяющий изменение напора насоса с отключенным электродвигателем в зависимости от изменения подачи этого насоса; (K_HQ)_ост - коэффициент, который характеризует изменение напора оставшихся в работе насосов при изменении расхода проходящей через них жидкости.

Уравнение баланса расходов имеет вид

,                                                                                      (13)

где ΔQ_кл и ΔQ_рег - соответственно отклонения расходов жидкости, в случае регулирования процессов торможения насоса при внезапном отключении электропривода.

2 Уравнения, описывающие волновые процессы

 в трубопроводе на входе насоса

После отключения электродвигателя (потери привода) насос работает в режиме выбега, при котором вследствие уменьшения частоты вращения рабочего колеса происходит уменьшение расхода жидкости в трубопроводе на входе в насос. Это вызывает волновой процесс в трубопроводе.

В изображениях  по  Лапласу волновой процесс в трубопроводе можно описать системой дифференциальных уравнений [2, 3]

,                                                              (15)

где p(s), v(s) – изображения по Лапласу давления и скорости жидкости соответственно;

x - координата, измеряемая вдоль оси трубопровода;

s - переменная в интеграле преобразования по Лапласу;

ρ, B_тр -  плотность и модуль объемной упругости жидкости, находящейся в трубопроводе с упругими стенками;

W_к.н(s) - передаточная функция для касательного напряжения на стенке трубопровода;

r₀ - радиус проходного сечения трубопровода.

Решение уравнений (14) и (15) имеет вид

_{,       (16)}

где υ(s) - коэффициент распространения возмущения, определяемый с помощью соотношения

.                          (17)

Для вычисления произвольных постоянных C₁ и C₂ необходимо найти граничные условия. В рассматриваемом ниже случае целесообразно начало координат x=0 принять в месте подключения трубопровода к гидросистеме. При этом можно не учитывать отраженную волну, если продолжительность переходных процессов в насосном агрегате значительно меньше продолжительности пробега волной удвоенной длины трубопровода (фазы гидравлического удара). С таким условием, пренебрегая вязкостью жидкости и используя уравнения (16), (17), можно применить формулу Н.Е. Жуковского

_{, (18)}

в которой  индексом  "1" отмечены  давление и скорость жидкости в сечении трубопровода на входе в НС.

Скорость распространения возмущения (скорость звука в трубопроводе с жидкостью) при выводе формулы (18) принята в соответствии с соотношением

.

3 Структурная схема гидросистемы с центробежным насосом

С помощью системы уравнений (5) - (13) получена приведенная на рисунке 1 структурная схема насосного агрегата для расчета переходных процессов. Возмущающим воздействием здесь является величина начальной мощности (N_н1)₀, подводимой к насосу до того, как произошло отключение его электродвигателя. Мгновенное отключение электродвигателя представлено ступенчатым (скачком) уменьшением этой мощности от начального значения до нуля. Контролируемой величиной является Δp_вх.

Величина  ΔQ_кл  – расход жидкости, пропускаемый на слив через клапан, который установлен на насосном агрегате;

ΔQ_рег – расход жидкости, обеспечивающей открытие и закрытие клапана при действии регулятора;

W_Р(s) – передаточная функция, описывающая алгоритм действия регулятора управляющего клапаном насосного агрегата;

W_Qp(s) – передаточная функция, описывающая расход жидкости, необходимый для управления клапаном.

Пример расчета переходных процессов в случае аварийного отключения насоса был выполнен для следующих исходных данных:

частота вращения вала насоса n=3000 об/мин;  N_Н=2800 кВт;   = 213 м; 

=859,2 ;       м²/с;  м;           м/с;

= 0,72;       = 4136 (1,15) ().

Значения параметров, использованных в расчете, находились по соотношениям

Рисунок 1 - Структурная схема насосного агрегата

Моделирование системы по составленной структурной схеме осуществлялось с помощью программного комплекса МВТУ («Моделирование в технических устройствах»). Полученные в результате переходные процессы представлены на рисунке 2.

Заключение

Переходные процессы при отключении электродвигателя насосного агрегата, полученные в результате структурного моделирования, соответствуют наблюдавшимся при эксплуатации процессам в насосах [3].

Рисунок 2 - Переходные процессы:
а) изменение угловой частоты вращения вала насосного агрегата  ,
б) изменение давления на входе в насос 

Используя приведенную в статье математическую модель, можно провести исследование аварийных режимов работы насоса, а так же найти структуру и параметры оптимального регулятора давления на входе насоса.

Список литературы

1.     Аршеневский Н.Н., Поспелов Б.Б. Переходные процессы в крупных насосных станциях. М.: Энергия, 1980. 112 с.

2.     Попов Д.Н. Нестационарные гидромеханические процессы. М.: Машиностроение, 1982. 240 с.

3.     Попов Д.Н., Сосновский Н.Г. Структурный метод моделирования на ЭВМ нестационарных процессов в системах с лопастными насосами // Научно-технич. конференция 4-го Международного форума PCVEXPO’2005 «Насосы. Эффективность и экология»: тез. докл. Москва, 2005. С. 13-14.

4.     Попов Д.Н. Особенности динамики управляемых систем с насосами // Междунар. научно-технич. конференция «ECOPUMP.RU 2007. Эффективность и экологичность насосного оборудования»: тез. докл. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. С. 37-38.