НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 621.396

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

tabasik@gmail.com

Введение

Последние десятилетия характерны широким применением систем синхронизации. Наибольшее распространение системы синхронизации нашли в связи, в навигационных системах (GPS, Galileo и Глонасс), радиосвязи, следящих системах,  для синхронизации OPERA и CERNи т.д.

Внедрение спутниковых радионавигационных и радиосвязных систем породили повышенный интерес к системам синхронизации, к их точности и помехозащищенности.

Все эти системы работают в условиях воздействия помех [1-3].

Дальнейшее усовершенствование систем синхронизации за счет улучшения конструктивных и технологических решений имеет предел, вызываемый воздействием флуктуаций и помех естественного и искусственного происхождения.

Помехоустойчивости систем синхронизации посвящен ряд работ [1-3].

В данной статье путем анализа фазовых портретов получены уравнения захвата за сигнал и захвата за гармоническую помеху.

1. Влияние гармонической помехи на систему ФАП первого порядка

Рассмотрим функциональную схему ФАП первого порядка, когда на фазовый детектор (ФД) воздействует смесь сигнала и гармонической помехи (рис. 1) [4]

где А_с, А_п – соответственно амплитуды колебаний сигнала и помехи; φ_с, φ_п – фазы колебаний соответственно сигнала и помехи детектируемая ФД в момент времени t₁; t₁,c– время.

Рис. 1 Функциональная схема ФАП первого порядка

Сигнал управляемого генератора (УГ) зададим в виде

для которого справедливо дифференциальное уравнение

                                                    (1)

где А_г – амплитуды колебаний УГ; φ_г – фазы колебаний УГ в момент времени t₁; u(t₁) – напряжение на входе УГ; k_г – коэффициент передачи УГ; ω₀ – собственная частота УГ.

Напряжение на выходе ФД имеет вид

                                (2)

где k_у – коэффициент усиления ФД

В результате перемножения из уравнения (2) получим

Поскольку система является узкополосной, то, очевидно, можно отбросить два последних слагаемых.

Введем новые переменные

Тогда с учетом (1) получим

где  – отношение помеха/сигнал;    – сигнальная расстройка по частоте;  – помеховая расстройка по частоте.

Введем время  В результате система дифференциальных уравнений примет вид

                                           (3)

где   

Рассмотрим фазовое пространство полученной системы дифференциальных уравнений. Во-первых, можно заметить, что отсутствуют точки равновесия. Если положить  то получим

                                          (4)

По уравнению (4) можно сделать вывод, что точки равновесия возможны лишь в случае , что по предположению не выполняется. Таким образом, фазовые траектории данной системы не пересекаются.

Так же фазовое пространство является неизменным, откуда следует  и  . В связи с выше рассмотренным достаточно рассмотреть лишь один фрагмент фазовой плоскости (рис. 2), например  Для всех остальных значений xи y данный фрагмент будет периодически повторяться.

Рис. 2 Фрагмент фазового пространства в пределах

Для исследования поведения фазовых траекторий выделим на фазовой плоскости области с постоянным направлением изменения xи y. Границами таких областей являются   и . Отсюда из уравнения (4) для нижней полуплоскости bприведенной на рис. 2 получаем

Для верхней полуплоскости a(рис. 2) система уравнений имеет вид

Получим угол наклона траектории фазовых кривых

                                   (5)

По формуле (5) можно сделать вывод что tg(α)=0 и tg(α)=∞ являются частными случаями движения фазовых кривых в областях с постоянными направлениями xи y.

Рассмотрим все возможные расположения этих кривых относительно фрагмента фазового пространства приведенного на рисунке 2. Для определенности предположим, что ε > 1. Все возможные расположения кривых для уравнений системы, приведены на рис. 3 при ε = 2 и β=0.

На рис. 3а приведен эллипс возможный в случае . На рис. 3б приведен случай, когда эллипс распадается на две кривые при . На рис. 3в приведен случай, когда две кривые распадаются на четыре при . На рис. 3г приведены два случая, при которых кривые отсутствуют при  и . Стрелками на рис. 3 показаны углы наклона фазовых траекторий.

Для упрощения дальнейшего анализа заменим нелинейную функцию sin(x) переменной xв интервале , и π–x при  [5]. Аналогично заменяем sin(у) переменной у в интервале , и π–y при . Тогда уравнение (3) преобразуется к виду

                                                (6)

Рис. 3  Фазовая плоскость с выделенными областями с постоянными направлениями x и y

На рис. 4 приведена работа ФАП в режиме захвата за сигнал при β=0, Δβ=π/2, ε=1. На рисунке приведены две фазовые кривые начинающие движение с точек a₁, a₂ и заканчивающие движение в точках соответственно в b₁ и b₂. Для режима захвата за сигнал характерно монотонное изменение координаты y. При этом координате xхарактерно следующее неравенство  Соответственно для режима захвата за помеху характерно монотонное изменение координаты x, а координате yхарактерно неравенство  Стрелкам на рис. 4 показаны углы наклона фазовых траекторий.

Рис. 4 Режим захвата за сигнал при ε = 1

На рис. 5 приведены фазовые плоскости с выделенными областями с постоянными направлениями x и y. Стрелками на рисунке обозначены углы наклона траектории фазовых кривых.

В случае если принять Δβ>0, то анализ фазовых траекторий можно разделить на четыре категории. В случае изображенном на рис. 5б можно заметить, что работа ФАП будет проходить в режиме захвата за сигнал. На рис. 5в работа ФАП будет проходить в режиме захвата за помеху. Рисунки 5а и 5г не дают достаточной информации о захвате за сигнал или помеху. В случае при Δβ<0 все рассуждения проводятся аналогично.

Нормируем рисунки 4 и 5, заменив шаг сетки со значения π/2 на 1. Из анализа рис. 4 и 5 становится ясно, если , в то время как , получим работу ФАП в режиме захвата сигнала, и при ,  – работу ФАП в режиме захвата помехи. Подставив полученные значения x и yв систему уравнений (6), получим неравенство для ФАП в режиме захвата сигнала

                                                     (7)

и в режиме захвата помехи

                                                       (8)

Рис. 5. Анализ фазовых траекторий при различных значениях ε, β

Заменив в уравнении (7) и (8)  на ,  на  и ε на , придем к уравнению (14 a) и (14 b) автора [5]. Причем следует отметить, что автором была допущена ошибка, в случае захвата за помеху неверно поставлен модуль. Верность полученных уравнений (7) и (8)  можно проверить по рисунку 15.6 автора [4].

Проверим неравенства (7) и (8) по формуле (3), получив режимы захвата за сигнал и за помеху. На рис. 6а приведен режим захвата за сигнал при ε = 0.8; β = 0; Δβ = –0.4. На рис. 6б приведен режим захвата за помеху при ε = 1; β = 0.4; Δβ = 0.4.

Рис. 6 – Режимы захвата сигнала и помехи

На рис. 7 показана линия границы захвата за сигнал и за помеху вычисленная при различных  ε, Δβ по формуле (3) принимая при этом β=0. Кружочками на рисунке обозначены значения  Δβ, для которых проводилось моделирование.

Рис. 7 – Линия границы захвата сигнала и помехи

Заключение

Таким образом, в результате проведенного анализа были получены неравенства для определения условий захвата за сигнал и за помеху зависящие от значений отношение помеха/сигнал, сигнальной расстройки по частоте и отстройки по частоте сигнала и гармонической помехи. Для проверки полученных выводов, было проведено моделирование по полученным неравенствам режимов захвата за сигнал и за помеху.

Список литературы

1.     Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. М.: ИПРЖР, 1996. 252 с.

2.     Meyr H., Ascheid G. Synchronization in digital communications . Vol.1. Phase-, Frequency-Locked Loops, and Amplitude Control. N.Y.: Wiley, 1990.  510 p.

3.     Stephens D.R. Phase – locked loops -for Wireless communications. Digital, analog and implementations.  2^nd ed. N.Y.: Kluwer, 2002. 421 p.

4.     Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения. М.: Радио и связь, 1999. 495 с.

5.     Nakagawa M. Effects of interfering signals in phase-locked loops // Frequentz. 1978. № 32 (5). P. 146-153.