НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 517.987.4   

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

Maxim.cad@gmail.com

В статье рассматривается задача Коши для параболического уравнения в частных производных с бигармоническим оператором и аддитивным возмущением по пространственной переменной. Подобные уравнения используются в различных областях физики, химии, биологии и компьютерных наук.  Получены представления решения поставленной задачи  с помощью формул Фейнмана, т.е. пределов кратных интегралов от элементарных функций при стремлении кратности к бесконечности. Основная часть  формул Фейнмана доказана с помощью теоремы Чернова; некоторые  формулы получены на основании  аппроксимаций Иосиды. В работе представлены различные типы формул Фейнмана: гамильтоновы и лагранжевы. Лагранжевы формулы Фейнмана подходят  для численного моделирования динамики эволюционной системы. Гамильтоновы формулы Фейнмана связаны с некоторыми интегралами Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве; такие интегралы  являются важными объектами квантовой физики.

Литература

1. Tritscher P. An integrable fourth-order nonlinear evolution equation applied to surface redistribution due to capillarity // J. Austral. Math. Soc. Ser. B. 1997. V. 38, No 4. P. 518–541.

2. Myers T.G., Charpin J.P.F. A mathematical model for atmospheric ice accretion and water flow on a cold surface // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2004. V. 47. N 25. P. 5483-55003.

3. Halpern D., Jensen O.E., Grotberg J.B. A theoretical study of surfactant and liquid delivery into the lung // J. Appl. Physiol. 1998. V 85. P. 333–352.

4. Toga A. Brain Warping. N.-Y.: Academic Press, 1998.

5. Monterde J., Ugail H. A general 4th-order PDE method to generate Bezier surfaces from the boundary // Comp. Aid. Geom. Des. 2006. V. 23. P. 208–225.

6. Kim S., Lim H. Fourth-order partial differential equations for effective image denoising // El. J. of  Differential Equations. 2009. Conf. 17. P. 107–121. Режим доступа:  http://ejde.math.txstate.edu/   (дата обращения 18.08.2012).

7. Smolyanov O.G., Tokarev A.G., Truman A. Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula // J. Math. Phys. 2002. V. 43, N 10. P. 5161–5171.

8. Smolyanov O.G., Weizsacker H.v., Wittich O. Brownian Motion on a Manifold as Limit of Stepwise Conditioned Standard Brownian Motions // Stochastic Processes, Physics and Geometry: New Interplays. Vol. 2.  A Volume in Honor of Sergio Albeverio. Canadian Math. Society, Providence, AMS, 2000. P. 589–602. (CMS Conference Proceedings. Vol. 29).

9. Smolyanov O.G., Weizsacker H.v., Wittich O. Chernoff’s theorem and the construction of semigroups. // Proc. of Evolution Equations: Applications to Physics, Industry, Life Sciences and Economics: EVEQ2000 Conference, Levico Terme, Italy, Oct./Nov. 2000.  Birkhauser Verlag, 2003. P. 349–358. (Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applicftions. Vol. 55).     

10. Smolyanov O.G.,Weizsacker H.v., Wittich O. Diffusion on compact Riemannian manifolds, and surface measures // Doklady Math. 2000. V. 61. P. 230–234.

11. Smolyanov O.G., Weizsacker H.v., Wittich O. Surface Measures and Initial Boundary Value Problems Generated by Diffusions with Drift // Doklady Math. 2007. V. 76, N 1. P. 606–610.

12. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2009. 724 с.

13. Бутко Я.А. Формулы Фейнмана и функциональные интегралы для диффузии со сносом в области многообразия // Мат. Заметки. 2008. Т. 83, №3. С. 333–349.

14. Бутко Я.А., Гротхаус М., Смолянов О.Г. Формула Фейнмана для класса параболических уравнений второго порядка в ограниченной области // Докл. РАН. 2008. Т. 421, №6. C. 727–732.

15. Butko Ya.A. Function integrals corresponding to a solution of the Cauchy Dirichlet problem for the heat equation in a domain of a Riemannian manifold // J. of Math. Sci. 2008. V. 151, №1. P. 2629–2638.

16. Butko Ya.A., Grothaus M., Smolyanov O.G. Lagrangian Feynman Formulae for Second Order Parabolic Equations in Bounded and Unbounded Domains // IDAQP. 2010. V. 13, №3. P. 377–392.

17. Gadella M., Smolyanov O.G. Feynman Formulas for Particles with Position-Dependent Mass // Doklady Math. 2007. V. 77, №1. P. 120–123.

18. Obrezkov O., Smolyanov O.G., Truman A. The Generalized Chernoff Theorem and Randomized Feynman Formula // Doklady Math. 2005. V. 71, №1. P. 105–110.

19. Sakbaev V.G., Smolyanov O.G. Dynamics of a Quantum Particle with Discontinuous Position-Dependent Mass // Doklady Math. 2010. V. 82, №1. P. 630–634.

20. Smolyanov O.G. Feynman type formulae for quantum evolution and diffusion on manifolds and graphs // Quant. Bio-Informatics, World Sc. 2010. V. 3. P. 337–347.

21. Smolyanov O.G., Shamarov N.N. Feynman and Feynman-Kac formulae for evolution equations with Vladimirov operator // Doklady Math. 2008. V. 77. P. 345–349.

22. Smolyanov O.G., Shamarov N.N. Hamiltonian Feynman Integrals for Equations with the Vladimirov Operator // Doklady Math. 2010. V. 81, №2. P. 209–214.

23. Butko Ya.A., Schilling R.L., Smolyanov O.G. Hamiltonian Feynman Kac and Feynman formulae for dynamics of particles with position-dependent mass // Int. J. Theor. Phys. 2011. V. 50. P. 2009–2018.

24. Feynman R.P. Space-time approach to nonrelativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. V. 20. P. 367–387.

25. Nelson E. Feynman integrals and the Schr¨odinger equation // J. Math. Phys. 1964. V. 3. P. 332–343.

26. Chernoff P. Product formulas, nonlinear semigroups and addition of unbounded operators // Memoirs of the Amer. Math. Soc. 1974. V. 140.

27. Butko Ya.A., Schilling R.L., Smolyanov O.G. Lagrangian and Hamiltonian Feynman formulae for some Feller semigroups and their perturbations // IDAQP. 2012. P. 1–19.

28. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность.  М.: Мир, 1977. 393 с.

29. Pazy A. Semigroups of linear operators and Applications to partial differential equation. Springer-Verlag, 1983. 279 p.

30. Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer, 2000. 609 p.

31. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. II. М.: МЦНМО. 2002. 789 с.

32. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 335 с.

33. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. 1097 с.

34. Бутко Я.А., Смолянов О.Г., Шиллинг Р.Л. Формулы Фейнмана для феллеровских полугрупп // Докл. РАН. 2010. Т. 434, №1. С. 7–11.

35. Boettcher B., Butko Ya.A., Schilling R.L., Smolyanov O.G. Feynman formulae and path integrals for some evolution semigroups related to tau-quantization // Rus. J. Math. Phys. 2011. V. 18, №4. P. 381–399.