НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 621.396

МГТУ им. Н.Э. Баумана

shakhtarin@mail.ru

Введение

Воздействие помех на системы синхронизации в устройствах радионавигации (ГЛОНАСС, GPSи др.), радиосвязи и радиолокации рассматривалось в ряде работ [1-3 и др.]. Среди помех особое внимание уделяется активным помехам, к которым, в частности относятся гармонические прицельные и перестраиваемые помехи. Особое внимание в последние годы уделяется воздействию гармонических помех на системы фазовой автоподстройки (ФАП) [4-7].

В работах [5-7] методом гармонического баланса найден ряд динамических характеристик ФАП при условии что частота гармонической помехи лежит за пределами полосы синхронизации ФАП, причем в [5] это сделано при условии малой амплитуды биений.

В [6, 7] рассмотрен более общий случай, однако в [6] основное соотношение представлено без его вывода, в связи с чем трудно судить о точности и достоверности полученного результата.

В данной статье приводится подробный вывод основного соотношения метода гармонического баланса из которого видна степень приближения полученного результата и следовательно, возможность оценки его точности.

1. Основные соотношения метода гармонического баланса

Можно показать, что при воздействии на ФАП наряду с сигналом и гармонической помехи дифференциальное уравнение ФАП имеет вид [5]

                         (1)

где,  – оператор дифференцирования;  t₁,с – время; Ω – полоса синхронизации ФАП;  – сигнал рассогласования;   – расстройка по частоте сигнала ω_с и частотой управляемого генератора (УГ) ω₀;  – отношение амплитуд помехи А_п и сигнала А_с (ОПС);   –  разность частот помехи и сигнала.

Предполагаемое решение дифференциального уравнения (1) в методе гармонического баланса при учете лишь одной гармоники принимается в виде [5, 6]

                  (2)

Параметры предполагаемого решения (2) – постоянная составляющая x₀, амплитуда первой гармоники x₁ и фазовый угол ψ – находятся в процессе гармонического баланса, подстановкой (2) в левую и правую части дифференциального уравнения (1).

В книге [5] автора данной публикации эти параметры находились при условии малого значения амплитуды x₁ и при условии d>>1, что обусловило использование приближенных соотношений [5] (нулевое приближение):

                                 (3)

Затем в статье автора [7] получены уточняющие соотношения на основе первого приближения.

В данной статье при использовании дифференциального уравнения (1) и предполагаемого решения в форме (2) используется более строгий подход (второе приближение), когда вместо (3) и [7] используются приближения более высокого порядка, в связи с чем повышается точность полученных результатов: динамических характеристик и критических значений параметров ФАП и помехи.

В данном случае в отличии от [7] используется отрезки рядов

                               (4)

где    – функции Бесселя соответствующих порядков, причем, здесь в отличие от [7], добавляется в разложении (4) вторая гармоника  

В результате вместо (3) и [7] и используются соотношения

              (5)

Подставляя предполагаемое решение (2) в исходное дифференциальное уравнение (1), получим

Воспользуемся соотношением (4). В результате получим (первая стадия упрощения)

На второй стадии упрощения пренебрегаем второй гармоникой во втором слагаемом в фигурных скобках, при перемножении воспользуемся приближенными равенствами (отбросим третьи гармоники)

а также отбросим вторые гармоники, возникающие в произведениях,

В результате в правой части приведенного соотношения останутся лишь первые гармоники вида  sin Φ  и cos Φ:

Выделим в правой части данного соотношения постоянную составляющую

                          (6)

где

В результате остающиеся переменные характеризуются соотношениями

                            (7)

где  

Запишем передаточную функцию фильтра в комплексной форме

 где                        (8)

В результате из (7) с учетом (8) находим

После гармонического баланса по sinΦ  и cosΦ получим два уравнения относительно величин cosP и sinP:

                                     (9)

Определитель Δ системы уравнений (9)

В результате решения системы уравнений (9) находим искомые величины cosP и sinP в виде

                              (10)

где

Очевидно, что

Отсюда имеем

Таким образом, эквивалентная запись определителя имеет вид

Поэтому окончательно получим

Или в другой форме:

                          (11)

                 (12)

где   

Полученные соотношения (6), (11), (12) совпадают с соответствующими уравнениями (7), (8), (9), приведенные без вывода в [6] и по приведенному процессу их вывода теперь можно судить о степени приближенности найденных соотношений.

При  по (11), (12) находится частный случай, полученный автором в [7].

2. Соотношение для параметров x₀, x₁, ψ предполагаемого решения дифференциального уравнения

По (11) и (12) может быть найдена система уравнений относительно величины cosψ и sinψ, имеющая вид

                               (13)

где   

Определитель системы уравнений (13) равен единице, поэтому

                                          (14)

где

здесь  

При малых значениях амплитуды x₁   J₂(x₁)≈0, поэтому в этом случае из (14) находим [7]

            (15)

              (16)

Далее из (12) находим

Тогда

                              (17)

где

Графики зависимости ψ=f(d) изображены на рис. 1 при ε=0,5; a=0,8; где кривые 1, 3, 5 получены при невырожденном фильтре; 2, 4, 6 – при вырожденном фильтре. Кривые 1, 2 получены при β=0,9; 3, 4 – при β=0,7; 5, 6 – при β=0,5.

Рисунок 1. Зависимость фазового угла  ψ  в предполагаемом решении от нормированной разности частот d

Соотношение для постоянной составляющей x₀ находится по (6) с учетом (11) и имеет вид

                              (18)

Графики зависимости x₀=f (d) изображены на рис. 2 при ε = 0,5; a = 0,8; где кривые 1, 3, 5 получены при невырожденном фильтре; 2, 4, 6 – при вырожденном фильтре. Кривые 1, 2 получены при β = 0,9; 3, 4 – при β = 0,7; 5, 6 – при β = 0,5.

Рисунок 2. Зависимость постоянной составляющей x₀ предполагаемого решения от нормированной разности частот d

    Остается найти зависимость амплитуды x₁ первой гармоники предполагаемого решения от параметров ФАП и отстройки d.

По (14) находим неявную зависимость

                                       (19)

При больших отстройках d находим

                    (20)

Графики зависимости x₁=f(d) изображены на рис. 3 при ε=0,5; a=0,8; где кривые 1, 3, 5 получены при невырожденном фильтре; 2, 4, 6 – при вырожденном фильтре. Кривые 1, 2 получены при β=0,9; 3, 4 – при β=0,7; 5, 6 – при β=0,5.

Рисунок 3. Зависимость амплитуды x₁ первой гармоники предполагаемого решения от нормированной разности частот d.

Заключение

Таким образом, получены основные соотношения (6), (11), (12) методе гармонического баланса, и в процессе их вывода отмечены стадии упрощения, по которым можно судить о степени точности полученных соотношений. В частном случае  уравнения совпадают с соотношениями, полученными автором ранее в [7].

Найдены значения выходных параметров предполагаемого решения (2) ДУ (1) ФАП: x₀, x₁, ψ (Рис 1-3).

Литература

1.         Перунов Ю.М., Фомичев К.И., Юдин Л.М. Радиоэлектронное подавление информационных каналов систем управления оружием. – М.: Радиотехника, 2003. – 416с.

2.         Защита радиолокационных систем от помех. Состояние и тенденции развития / под ред. А.Н. Канашенкова и В.И. Меркулова. – М.: Радиотехника, 2003. – 416с.

3.         Борисов В.Н., Зинчук В.М. Помехозащищенность систем радиосвязи. Вероятностно-временной подход. Изд. 2е, исправленное. – М.: Радио Софт, 2008. – 260с.

4.         Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации методом усреднения. – М.: Радио и связь. 1999. – 496с.

5.         Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. – М.: Радио и связь, 1998. – 488с.

6.         Karsi MF., Lindsey W.C. Effects of CW interference on phase-locked performance // IEEE Trans. 2000.v COM – 48, N5, p 886-896.

7.         Шахтарин Б.И. Анализ фазовой автоподстройки при наличии гармонической помехи.// Электронное научно-техническое издание «Наука и образование» 2012, №1, янв, с.1-12.