НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК.0000 321.396.96

МГТУ им. Н.Э.Баумана

chernshv@bnstu.ru

Современная теория оптимальной фильтрации разработана достаточно  полно [1] и в ней практически не осталось нерешенных проблем, однако все же иногда возникают  отдельные вопросы, требующие определенных разъяснений. Одним из таких вопросов является определение статистических  характеристик процесса обновления в оптимальном фильтре Калмана-Бьюси, чему и посвящена настоящая статья.

Рассмотрим такой фильтр. Пусть на его входе действует смесь полезного сигнала и помехи :

.

Полезный сигнал порождается из белых шумов :

.

Оценка полезного сигнала  на выходе фильтра определяется дифференциальным уравнением

.

Тогда ошибка слежения  будет подчиняться дифференциальному уравнению

.                         (1)

Отметим, что коэффициент усиления , где - импульсная характеристика оптимального фильтра Калмана-Бьюси, которая удовлетворяет уравнению

.                                         (2)

Приведенные выше уравнения не требуют доказательств, так они давно известны в литературе.

            Процесс обновления  связан с ошибкой слежения следующим образом:

.

Корреляционная матрица этого процесса определяется, как

         (3)

Для отыскания этой матрицы производятся [2] определенные преобразования с использованием классического решения уравнения (1):

.                            (4)

Эти преобразования приводят к следующим результатам:

                               (5)

Далее, если использовать известное выражение для коэффициента усиления

,

где   и - матрица интенсивностей шумов помехи, после подстановки его в (5) получают парадоксальный результат:

,

из которого следует, что корреляционная матрица процесса обновления определяется только статистическими свойствами помехи на входе. Этот вывод противоречит как теории Шеннона, согласно которой полезный сигнал не может быть восстановлен на приемной стороне без ошибки, если присутствует помеха, так и тому факту, что даже в физически нереализуемом (идеальном) оптимальном фильтре средний квадрат ошибки слежения за полезным сигналом нельзя свести к нулю. Вырезая часть спектра, в которой находится помеха, оптимальный фильтр вырезает и часть полезного сигнала.

            При всех, на первый взгляд, логичных  преобразованиях, сделанных выше, все же в них имеют место два спорных места.

Первое. Рассмотрим решение дифференциального уравнения (4). При внимательном рассмотрении видим, что, так как размерность импульсной характеристики  равна 1/сек, то размерность правой части этого уравнения имеет такую же размерность, в отличие от левой. Это, при общей правильной математической записи уравнения (4), вызывает сомнение в его физическом смысле.

            Проверим это решение, взяв производную от его левой и правой частей. Затем, подставляя выражение (2), приведем его к виду уравнения (1).

            В результате находим, что

.

Видно, что полученное уравнение совпадает с (1) только при , что никак не имеет смысла. Из этого можно сделать только один вывод, что решение (4), с учетом также сомнения в его физическом смысле, использовать нельзя.

            Вопрос с размерностями мог бы быть решен, если бы в (4) входили нормированные (безразмерные) импульсные характеристики . Этого можно добиться, используя в решении не , а   - импульсную характеристику, нормированную по коэффициенту усиления в цепи фильтра Калмана-Бьюси. Тогда решение выглядело бы следующим образом:

.                  (6)

Проверим это решение, проведя аналогичные преобразования. Возьмем производную:

.               (7)

Подставим в это выражение (2):

Отметим, что с учетом (6) интеграл в правой части равен , и учитывая, что  получаем

,

уравнение, полностью совпадающее с (1), что подтверждает правильность решения (6).

            Второе. При получении уравнения (5) было справедливо учтено, что помеха  и ошибка слежения  некоррелированы между собой. В связи с этим третье слагаемое в (3) положено равным нулю. Однако при этом второе слагаемое считалось не равным нулю, хотя моменты времени  и  имеют произвольные значения. Тем не менее в силу упомянутой некоррелированности и второе слагаемое должно быть равным нулю. В этом случае проведенные выше преобразования приводят к вполне физически объяснимому результату:

            Из последнего выражения следует, что корреляционная матрица процесса обновления определяется не только матрицей интенсивностей помехи , но и корреляционной матрицей ошибки слежения , что отвечает всем теоретическим представлениям, так как ошибка слежения в стохастической системе не может быть сведена к нулю.

            Выводы. Решение дифференциального уравнения ошибки слежения в оптимальном фильтре Калмана-Бюси должно содержать нормированные значения импульсной характеристики этого фильтра. Корреляционная матрица процесса обновления зависит как от матрицы интенсивностей помехи на входе, так и от корреляционной матрицы ошибки слежения.

Литература

1. Stengel R. Optimal control and estimation. MAE 546. Princeton Univercity, 2011.

2. Шахтарин Б.И. Фильтры Винера и Калмана. –М.: Гелиос АРВ, 2008.