Другие журналы
|
научное издание МГТУ им. Н.Э. БауманаНАУКА и ОБРАЗОВАНИЕИздатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211. ISSN 1994-0408
77-30569/341035 Нелинейная модель рыночного звена макроэкономической системы управления
# 02, февраль 2012
Файл статьи:
Чернышев_27_P.pdf
(232.42Кб)
УДК.00000 330.4 (078.8) МГТУ им. Н.Э.Баумана chernshv@bnstu.ru В современной социально-экономической системе существует множество различных рынков: рынок товаров и услуг, рынок денег, рынок энергетических ресурсов, рынок трудовых ресурсов, и другие, в том числе рынок криминальных услуг. В связи с этим важное значение имеет моделирование рынка. Для аналитической оценки рыночной цены применяются различные модели рынка. Среди них известны динамическая паутинообразная модель и модель общего равновесия Л. Вальраса [1]. Известная динамическая модель имеет линейный характер, а модель общего равновесия, как следует из названия, в отличие от первой предполагает равновесие на рынке. Целью настоящей статьи является создание модели рынка, которая бы использовала преимущества обеих указанных моделей и учитывала нелинейность процесса формирования цены. Свое название паутинообразные модели получили из-за «паутины», образующейся на графике в ходе изменения цены на рынке, который изображен на рис. 1. Рис.1. Паутинообразная траектория установления рыночной цены
Рассмотрим его смысл. На первом этапе задается начальная цена, которой соответствует какое-то значение спроса; предложение, соответствующее этому уровню спроса, существует при большем значении цены, которому соответствует другой спрос (меньший), а его уровню - предложение при меньшем значении цены и т.д. В конце концов получившаяся спираль (паутина) приводит к равновесной цене, на которой приходят к согласию покупатель и продавец. Каждый этап этого приближения к равновесной цене может рассматриваться, как этап, соответствующий цене, сложившейся в некоторый момент времени. И этот процесс «торга» можно рассматривать, как процесс установления рыночной цены со временем. В известной паутинообразной модели [1] учитывается, что на рынке равновесие имеет место только в идеале, а на практике в разные моменты времени может возникать и неудовлетворенный спрос (дефицит товара) и остатки товара, пополняющие остаток. Механизм изменения рыночной цены зависит от того, как идет торговля: если есть дефицит товара, то продавец на свободном рынке повышает цену, а если товар плохо продается и возникают остатки товара, приводящие к росту остатка, то он вынужден снижать цену. Пусть в k-ый день разница между спросом и предложением составила
. Если , следовательно, предложение превысило спрос и в конце дня остался остаток товара, который вместе с новой поставкой должен быть продан на следующий день. Если предположить, что уровень спроса не изменится, для его продажи необходимо снизить цену. Если , то товара в этот день не хватило, поэтому на следующий день можно повысить цену. В целом этот механизм описывается уравнением
, (1)
из которого следует, что цена в -ый день будет определяться вчерашней ценой и остатком (дефицитом) товара на вчерашний вечер . Коэффициент называется эластичностью цены по остатку и определяется, как . Отметим, что (1) может определять изменение цены не только с периодичностью в один день (что было принято нами для наглядности), но и при других периодах дискретизации времени - длительных или коротких. Если же общая продолжительность рассматриваемого периода времени намного больше периода дискретизации времени , то приближенно можно считать, что цена меняется непрерывно и . В этом случае уравнение (1) можно записать в непрерывном виде: .
Решая это уравнение относительно , получаем:
. (2)
Здесь - накопленный за все рассматриваемое время от до остаток, равный площади (с учетом знака), расположенной между кривыми и . Константа определяется при равенстве нулю этого остатка (), следовательно, равна равновесной цене . На рис. 2 приведены графики, иллюстрирующие изменение цены во времени при изменении спроса и предложения. Из (2) видно, что цена зависит от остатка линейно, что в реальности имеет место лишь при малых отклонениях от точки равновесия . При большом остатке или дефиците эта зависимость отличается от линейной, что видно из рис. 3. Поэтому ее можно аппроксимировать какой-либо математической функцией. Наилучшим образом в качестве аппроксимирующей подходит экспоненциальная функция. В этом случае
. (3) Эластичность определяет наклон графика. Найдем с помощью (3) дискретную модель. Из (3) сначала получаем ,
а потом рассмотрим приращения левой и правой частей при приращении времени на : , откуда получаем
. (4)
Рис. 2. Изменение спроса, предложения, остатка и цены
Рис. 3. Зависимость рыночной цены от разности между спросом и предложением
Это уравнение определяет динамику изменения цен от прироста остатка (дефицита) не только вблизи точки равновесия, но и при ощутимых отклонениях от нее. Отметим, что при в (4) экспоненту можно аппроксимировать линейной зависимостью и это выражение легко преобразуется в (1) при , что говорит об аналогичности моделей (4) и (1) вблизи точки равновесия. Однако для других значений расхождения моделей увеличиваются по мере удаления от равновесия – как при большом дефиците, так и при больших запасах, так как растет погрешность линейной модели. Рассмотрим теперь модель многопродуктового рынка с учетом производителя и потребителя. Этот учет состоит в том, что в модель введены дополнительные уравнения: уравнение, описывающеее производственную функцию ; уравнение, описывающее прибыль производителя
; а также уравнение для функции полезности
; и уравнение бюджета потребителя ,
где - цена на i – й продукт, и - цены на трудовые ресурсы и основные фонды, соответственно, - коэффициенты производственной функции, - коэффициенты функции полезности. Если учесть при этом, что производитель стремится к максимизации своей прибыли, то есть
,
то в [2] найдено, что на многопродуктовом рынке оптимальное предложение на i – й продукт будет определяться следующим выражением
., (5) где - цена на i – й продукт, и - цены на трудовые ресурсы и основные фонды, соответственно, - коэффициенты производственной функции. В [2] также найдено, что из условия максимизации полезности при имеющемся у потребителя бюджете , то есть при ,
следует, что оптимальный спрос на i – й продукт со стороны потребителя равен величине
., (6) где - коэффициенты функции полезности. Подставляя (5) и (6) в (4), получаем Полученное выражение, несмотря на свой довольно громоздкий вид, является окончательным уравнением модели. Оно определяет динамику изменения рыночных цен на многопродуктовом рынке с учетом затрат и производственной функции производителя и его стремления к максимизации прибыли, а также бюджета и функции полезности потребителя и его стремления максимизировать полезность при покупке. В случае изменения цен на производственные факторы (трудовые ресурсы и основные фонды) меняются, как видно из (5), и выпуски. При этом меняются и цены на товары (см.(7)).. При изменении бюджета потребителя изменяется спрос (6), и рыночные цены также изменяются, что также следует из (7). Так, в случае, если имеет место выполнение закона убывающей отдачи производства и эластичность производства , при повышении покупательной способности конечного потребителя, т.е. с ростом бюджета , как видно из (7), возрастают цены на товары, и, как следует из (5),возрастает и предложение. Так, например, при возрастании в два раза, и при , цены на товары возрастают на 7.2%, а выпуски - на 86.6%. В случае, когда и отдача от расширения производства постоянна, из (5) видно, что цены на товар оказываются независимыми от предложения, соответственно и прибыли производителей в этом случае при выполнении максимальны при любых выпусках. Если же в модели применяется эластичность, то в соответствии с (5) предложение падает с ростом рыночной цены, что противоречит рыночным законам, говорит о неправильности модели и еще раз подтверждает справедливость закона невозрастающей отдачи производства. В заключение отметим, что данная модель рыночного звена может быть применена, как часть общей макроэкономической модели, представляющей собой замкнутую систему управления с многочисленными обратными связями. Входными переменными такого звена являются предложение, формирующееся в производственном секторе, и спрос, формирующийся в потребительском секторе, а выходной переменной является рыночная цена. Динамика ее изменения в макроэкономической модели и будет описывать инфляционный процесс.
Литература
Публикации с ключевыми словами: модель, система управления, спрос, рыночная цена, предложение, макроэкономика Публикации со словами: модель, система управления, спрос, рыночная цена, предложение, макроэкономика Смотри также: Тематические рубрики: Поделиться:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|