НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 517.987.4

МГТУ им. Н.Э. Баумана

yanabutko@yandex.ru

  В настоящей работе рассматривается новый метод исследования  и описания линейной динамики. Метод основан на представлении  соответствующих эволюционных полугрупп (или, что то же самое, решений соответствующих эволюционных уравнений) с помощью формул Фейнмана, то есть в виде пределов конечнократных интегралов при стремлении кратности к бесконечности. При этом  в некоторых случаях удается  получить формулы Фейнмана, содержащие конечнократные интегралы только от элементарных функций.  Такие формулы Фейнмана позволяют проводить непосредственные вычисления решений эволюционных уравнений, пригодны для аппроксимации переходных вероятностей случайных процессов, полезны для компьютерного моделирования стохастической и квантовой динамики.  Пределы конечнократных интегралов в формулах Фейнмана совпадают с некоторыми функциональными интегралами по вероятностным мерам или по псевдомерам фейнмановского типа. В настоящее время функциональные интегралы (или интегралы по траекториям) занимают одно из центральных мест в математическом аппарате теоретической физики; это важные объекты в квантовой теории поля, особенно в теории калибровочных полей. При решении множества задач полезно применять   гамильтонов формализм квантовой механики и  работать с (гамильтоновыми) интегралами Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве. Существует много подходов к математически строгому определению таких интегралов. При этом  в рамках каждого из подходов возникает свой собственный класс функций, интегрируемых в данном смысле.  В настоящей работе развивается  подход Смолянова и его соавторов,  позволяющий связать интегралы Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве с гамильтоновыми формулами Фейнмана для эволюционных полугрупп. В последнее десятилетие этот метод активно применяется для описания  различных типов динамики в областях евклидовых пространств и римановых многообразий, в бесконечномерных линейных и нелинейных пространствах, при исследовании  р-адических аналогов уравнений математической физики. Настоящая работа носит обзорный характер; в ней собраны воедино некоторые результаты недавних статей автора (совместных с Бёттхером,  Гротхаусом,  Смоляновым и Шиллингом), в которых последовательно развивается метод формул Фейнмана для исследования феллеровских полугрупп и изучается  связь таких формул с интегралами Фейнмана по траекториям в фазовом пространстве. В данной работе выведены формулы Фейнмана для феллеровских полугрупп и полугрупп, порожденных различными процедурами квантования квадратичной функции Гамильтона; введена конструкция интеграла Фейнмана по фазовому пространству; представлены интегралы Фейнмана для феллеровских полугрупп и полугрупп, порожденных различными процедурами квантования квадратичной функции Гамильтона.

Список литературы

1.     Albeverio S., Guatteri G., Mazzucchi S.  Phase space Feynman path integrals //     J. Math. Phys. 2002. V.43, No.6, P.2847-2857.

2.     Albeverio S., Hoegh-Krohn R., Mazzucchi S.     Mathematical theory of Feynman path integrals: an introduction //      Lect. Not. Math. V.523. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 2008.

3.     Albeverio S., Hoegh-Krohn R.      Mathematical theory of Feynman path integrals //     Lect. Not. Math, V.523. Berlin: Springer, 1976.

4.      Березин Ф.А.  Континуальные интегралы в фазовом пространстве// Успехи Физ. Наук.  1980. Т.132,  No 3.  С.497-548.

5.     Berg C., Forst G.      Potential Theory on Locally Compact Abelian Groups //     Ergeb. Math. Grenzgeb. V.87. Berlin: Springer, 1975.

6.     Bock W., Grothaus M.     A white noise approach to phase space Feynman path integrals // Theory of Probability and Mathematical Statistics in honor of Anatolij Skorokhod, Volodymyr Korolyuk and Igor Kovalenko, 2012, 27 p. (to appear).

7.     Boettcher B.,  Schilling R.L.     Approximation of Feller processes by Markov chains with Levy increments //     Stochastics and Dynamics. 2009. V.9. P.71-80.

8.     Boettcher B., Butko Ya.A., Schilling R.L., Smolyanov O.G.      Feynman formulae and path integrals for some evolutionary semigroups     related to tau-quantization //     Rus. J. Math. Phys. 2011. V.18, No 4. P. 387-399.

9.     Бутко Я.А. Формулы Фейнмана и функциональные интегралы для диффузии со сносом в области многообразия // Мат. Заметки. 2008.  Т. 83, No 3. С. 333-349.

10.  Butko Ya.A.     Function integrals corresponding to a solution of the Cauchy-Dirichlet problem for the heat equation in a domain of a Riemannian manifold //     J. Math. Sci. 2008. V.151, No1.  P. 2629-2638.

11.  Бутко Я.А.  Формула Фейнмана-Каца-Ито  для бесконечномерного уравнения Шлёдингера со скалярным и векторным потенциалами// Нелинейная динамика. 2006. Т. 2,  No 1.  С. 75-87.

12.  Бутко Я.А.    Функциональные интегралы для уравнения Шрёдингера в компактном римановом многообразии//  Мат. Заметки.  2006.  Т. 79, No2.  С. 194-200.

13.  Бутко Я.А. Формула Фейнмана для полугрупп с мультипликативно возмущенными генераторами//  Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2011. 77-30569/239563.

14.  Butko Ya.A., Grothaus M., Smolyanov O.G.     Lagrangian Feynman formulae for  second order parabolic equations in     bounded and unbounded  domains //     Inf. Dim. Anal. Quant. Probab. Rel. Top. 2010. V.13, No 3. P. 377-392.

15.  Бутко Я.А., Гротхаус М., Смолянов О.Г.      Формула Фейнмана для параболического уравнения второго порядка в области//         Доклады РАН.  2008. Т.421,  No  6.  С.  727-732.

16.  Бутко Я.А., Дурягин А.В.   Формулы Фейнмана для семейства параболических уравнений, соответствующих  тау-квантованию квадратичной функции Гамильтона  //  Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2011. 77-30569/251251.

17.  Бутко Я.А., Морозов А.В.   Представление решения задачи Коши-Неймана  для параболического уравнения на полупрямой  с помощью лагранжевой формулы Фейнмана//  Наука и образование: электронное научно-техническое издание. 2011. 77-30569/246219.

18.  Butko Ya.A., Schilling R.L., Smolyanov O.G.     Lagrangian and Hamiltonian Feynman formulae for some Feller     semigroups and their perturbations //     Inf. Dim. Anal. Quant. Probab. Rel. Top. 2012 (to appear).

19.  Butko Ya.A., Schilling R.L., Smolyanov O.G.     Hamiltonian Feynman- Kac  and Feynman formulae for dynamics of     particles with position-dependent mass //     Int. J. Theor. Phys. 2011. V.50,  P.2009-2018.

20.  Бутко Я.А., Смолянов О.Г.  Формулы Фейнмана в стохастической и квантовой динамике//  Современные проблемы  математики и механики. 2011. Т.6, No 1. C. 61-75.

21.  Бутко Я.А.,  Смолянов О.Г., Шиллинг Р.Л.  Формулы Фейнмана для феллеровских полугрупп// Доклады РАН. 2010. Т. 434. No 1. C. 7-11.

22.  Carmona R., Masters W.Ch., Simon B.     Relativistic Schroedinger Operators: Asymptotic Behavior of the Eigenfunctions //     J. Func. Anal. 1990. V.  91. P. 117-142.

23.  Cartier P. De Witt-Morette C.      Functional integration: action and symmetries. Cambridge Uni. Press, 2006.

24.  Chernoff P.      Product formulas, nonlinear semigroups and addition of unbounded operators // Mem. Am. Math. Soc. 1974. V.140.

25.  Courrege Ph.     Sur la forme integro-differentielle des     operateurs de  $C^{\infty}_{K}$  dans $C$ satisfaisant    au principe du maximum //     Seminaire de Theorie du Potentiel.  1965/66.  V.2,  38 p.

26.  Daubechies I., Klauder J.R.     Quantum-mechanical path integrals with Wiener measure for all polynomial Hamiltonians. II //     J. Math. Phys.  1985. V.26, No 9.  P. 2239-2256.

27.  De Witt-Morette C., Maheshwari A., Nelson B.     Path integration in non-relativistic quantum mechanics //     Phys. Rep. 1979. V. 50, No 5. P. 255-372.

28.  De Witt-Morette C.     Feynman path integrals // Commun. Math. Phys. 1974. V. 37.  P. 63-81.

29.  Dorroh J.R.     Contraction semi-groups in a function space //     Pacific J.Math. 1966. V. 19, No 1. P. 35-38.

30.  Дурягин А.В.  Формулы Фейнмана для параболического уравнения второго порядка и их применение/ Квалификационная работа бакалавра. МГТУ им. Н.Э. баумана. 2010. 49 с.

31.  Elworthy D., Truman A.     Feynman maps, Cameron-Martin formulae and anharmonic oscillators// Ann. Inst. Henri Poincare, Physique theorique. 1984. V.41, No 2. P. 115-142.

32.  Ethier S.E., Kurtz T.G.      Markov Processes: Characterization and Convergence.  Ser. Probab. Math. Stat. New York: Wiley, 1986.

33.  Feynman R.P.     Space-time approach to nonrelativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. V. 20. P. 367-387.

34.  Feynman R.P. An Operator Calculus Having Applications in Quantum Electrodynamics // Phys. Rev. 1951. V. 84. P. 108-128.

35.  Gadella M., Smolyanov O.G.     Feynman Formulas for Particles with Position-Dependent Mass // Dokl. Math. 2007. V. 77, No 1. P. 120-123.

36.  Garrod C.     Hamiltonian path  integral methods // Rev. Mod. Phys. 1966. V. 38, No 3. P. 483-494.

37.  Гельфанд И.М.,   Яглом А.М. Интегрирование в функциональных пространствах и его применения в квантовой физике//  Успехи мат. Наук. 1956. Т. 11, No 1. C. 77-114.

38.  Hida T., Streit L.     Generalized Brownian functionals and the Feynman integral //     Stochastic Processes and Their Appl. 1983. V. 16. P. 55-69.

39.  Hiroshima F., Ichinose T., Lorinczi J.     Path integral representation for Schroedinger operators with Bernstein functions of the Laplacian // arXiv:0906.0103v4.

40.  Hwang I.L.     The L₂-boundness  of pseudodifferential operators //     Trans. A.M.S. 1987. V. 302, No 1. P. 55-76.

41.  Ichinose T., Tamura H.     Imaginary-time integral for a relativistic spinless particle in  an electromagnetic field //     Commun. Math. Phys. 1986. V. 105. P. 239-257.

42.  Ichinose W.     The phase space Feynman path integral with gauge invariance and its convergence // Rev. Math. Phys. 2000. V. 12. P. 1451-1463.

43.  Jacob N.     Characteristic functions and symbols in the theory of Feller processes // Potential Anal. 1998. V. 8. P. 61-68.

44.  Jacob N.     Pseudo-differential operators and Markov processes. V.1-3. Imperial College Press, 2001.

45.  Jacob N., Potrykus A.     Roth's Method Applied to Some Pseudo-Differential Operators with Bounded Symbols. A Case Study //     Rendiconti del Circ. Mat. di Palermo. 2005. Ser. II, No 76. P. 45-57.

46.  Jacob N., Schilling R.L.     Levy-type processes and pseudo differential operators //     O. Barndorff-Nielsen, T. Mikosch, S. Resnick (eds.):     Levy processes: theory and applications. Boston: Birkhäuser, 2001. P. 139--167.

47.  Karatzas I., Shreve S.     Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer. 1991.

48.  Kitada H., Kumano-go H.     A family of Fourier integral operators and the fundamental solution for a Schroedinger equation //     Osaka J. Math. 1981. V. 18. P. 291-360.

49.  Kumano-go N.     A Hamiltonian path integral for a degenerate parabolic pseudo-differential operators//     J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 1996. V. 3. P. 57-72.

50.  Kumano-go N., Fujiwara D.     Phase space Feynman path integrals via piecewise bicharacteristic paths and their semiclassical approximations //     Bull. Sci. math. 2008. V. 132. P. 313-357.

51.  Маслов  В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана. Москва: Наука. 1976.

52.  Морозов А.В.  лагранжевы формулы Фейнмана для задач Коши-Дирихле и Коши-Неймана для параболического уравнения на полупрямой/ Квалификационная работа бакалавра. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2011. 42 с.

53.  Nelson E.     Feynman integrals and the Schrödinger equation // J. Math. Phys. 1964. V. 3. P. 332-343.

54.  Obrezkov O.O.     The Proof of the Feynman-Kac Formula for Heat     Equation on a Compact Riemannian Manifold //     IDAQP. 2003. V. 6, No 2. P. 311-320.

55.  Obrezkov O.O., Smolyanov O.G., Truman A.     The Generalized Chernoff Theorem and Randomized Feynman Formula //     Dokl. Math. 2005. V.71, No 1. P. 105-110.

56.  Reed M., Simon B.     Methods of Modern Mathematical Physics. V. I. Academic Press, 1980.

57.  Sakbaev V.G., Smolyanov O.G.     Dynamics of a Quantum Particle with Discontinuous Position-Dependent Mass //     Dokl. Math. 2010. V. 82, No 1. P. 630-634.

58.  Sato K.     Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions // Cambridge Univ. Press, 1999.

59.  Schilling R.L.     Conservativeness of semigroups generated by pseudo differential operators // Potential Anal. 1998. V. 9. P. 91-104.

60.  Schilling R.L., Schnurr A.     The symbol associated with the solution of a stochastic differential equation //     El. J. Probab. 2010. V. 15. P. 1369-1393.

61.  Smolyanov O.G.     Feynman type formulae for quantum evolution and diffusion on manifolds and graphs //     Quant. Bio-Informatics, World Sc. 2010. V. 3. P. 337-347.

62.  Smolyanov O.G., Shamarov N.N.     Hamiltonian Feynman Integrals for Equations with the Vladimirov Operator //     Dokl. Math. 2010. V. 81, No 2. P. 209-214.

63.  Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. Москва: ИздательствоМГУ, 1990.

64.  Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т.  Носитель симплектической меры Фейнмана и принцип неопределенности// Доклады АН СССР.  1992. Т. 323,  No 6.  С.  1038-1042.

65.  Smolyanov O.G., Tokarev A.G., Truman A.     Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula //     J. Math. Phys. 2002. V. 43, No 10. P. 5161-5171.

66.  Smolyanov O.G., Truman A.     Change of variable formulas for Feynman pseudomeasures // Theor. Math.  Phys. 1999. V. 119, No 3. P. 677-686.

67.  Smolyanov O.G., von Weizsaecker H., Wittich O.     Smooth probability measures and associated differential operators //     Inf. Dim. Anal. Quant. Probab. 1999. V. 2, No 1. P. 51-78.

68.  Smolyanov O.G., Weizsäcker H.V., Wittich O.     Diffusion on compact Riemannian manifolds, and surface measures //     Dokl. Math. 2000. V. 61. P. 230-234.

69.  Smolyanov O.G., Weizsäcker H.V., Wittich O.     Brownian Motion on a Manifold as Limit of Stepwise Conditioned Standard Brownian Motions //     Stochastic Proceses, Physics and Geometry: New Interplays. II: A Volume in Honor of Sergio     Albeverio. Ser. Conference Proceedings. Canadian Math. Society. Providence: AMS.     2000. V. 29. P. 589-602.

70.  Smolyanov O.G., von Weizsäcker H., Wittich O.     Chernoff's theorem and the construction of semigroups //     Evolution Equations: Applications to Physics, Industry, Life Sciences and Economics. Proc. 7th  Intnl. Conf. Evolution Eqs and Appl., Levico Terme, Italy, Oct./Nov. 2000. Birkhäuser, Prog. Nonlinear Differ. Eq. Appl. 2003. V. 55. P.349--358.

71.  Smolyanov O.G., Weizsäcker H.V., Wittich H.V.     Surface Measures and Initial Boundary Value Problems Generated by Diffusions with Drift //     Dokl. Math. 2007. V.76, No 1. P. 606-610.

72.  Smolyanov O.G., Weizsäcker H.V., Wittich O.     Chernoff's Theorem and Discrete Time Approximations of Brownian Motion on Manifolds //     Potent. Anal. 2007. V. 26, No 1. P. 1-29.

73.  Smolyanov O.G., Khrennikov A.Yu.     Central limit theorem for generalized measures on rigged Hilbert spaces //     Soviet Math. Dokl. 1985. V. 31. P.301-304.