НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 621.813, 621.815

МГТУ им. Н.Э. Баумана

victorfa@mail.ru

dmitriyblinov@mail.ru

Цикл статей посвящен разработке методик расчета соединения двух деталей, имеющих цилиндрические сопрягаемые поверхности с малым радиальным зазором и различной жесткостью охватывающей детали [1 – 4].

В статье [4] представлены теоретические основы, которые положены в основу методики расчета соединений деталей по цилиндрическим поверхностям с малым зазором для случая, когда охватывающая деталь является тонкостенной. Данная работа является продолжением рассматриваемого случая и посвящена разработке методики расчета указанных соединений, как в аналитическом виде, так и с использованием графиков.

Разработанная методика расчета может широко использоваться для расчетов и конструирования кулачковых оправок, грибковых наладок и других приспособлений при закреплении в них тонкостенных заготовок (охватывающих деталей) базовым отверстием, а также для  определения погрешностей формы заготовок при их закреплении в станочных приспособлениях. При этом количество n кулачков приспособления может быть произвольным, то есть , и кулачки равномерно расположены по угловой координате.

3.4. Алгоритм аналитического расчета.

В подразделе 3.3 [4] получена система десяти линейных алгебраических уравнений с десятью неизвестными. Эту систему можно решить известными методами [5, 6] по стандартным программам для ЭВМ.

Альтернативный метод расчета. В результате анализа полученной системы десяти линейных алгебраических уравнений было установлено, что возможен алгоритм последовательного определения неизвестных. Этот алгоритм, который получен после многочисленных преобразований, представлен ниже.

Исходные данные, см. рис. 2 в статье [4]: 

   n – количество кулачков ();

   F_K – сила на один кулачок со стороны привода; 

   r₁ – радиус сопрягаемой цилиндрической поверхности кулачка;

   r₂ – радиус сопрягаемой цилиндрической поверхности (отверстия) заготовки-кольца;

   L  и  h – длина и толщина заготовки-кольца;

   Е₂ – модуль упругости материала заготовки-кольца; 

   – предел текучести материала заготовки-кольца;

    – коэффициент запаса статической прочности.

Дополнительные исходные данные:   – радиальный зазор;

    – угол между двумя соседними кулачками;

     – радиус срединной поверхности тонкостенной заготовки-кольца;

     – момент инерции сечения заготовки-кольца.

Задаемся значением полуугла контакта φ₀.

Расчет, см. рис. 4 и 5 в статье [4].   – радиус срединной поверхности заготовки-кольца на участке «АВ» после деформирования; 

     – изгибающий момент на этом участке «АВ» заготовки-кольца;

   нормальная сила на границе участка «АВ» со свободным участком заготовки-кольца равна

;

   сосредоточенная сила, составляющая эпюру контактного давления, равна

;

     –  распределенное давление, составляющее эпюру контактного давления;

   – сила на один кулачок со стороны привода оправки.

 Если расчетное значение силы F_K не равно заданному значению силы, задаемся новым значением полуугла контакта φ₀  и повторяем расчет. Если расчетное значение силы F_Kпримерно равно заданному значению силы,  продолжаем определять другие искомые параметры:

    –  произвольную постоянную;

перемещение точки срединной поверхности заготовки-кольца под кулачком равно

  ;

   произвольную постоянную 

;

другую произвольную постоянную

;

      перемещение точки срединной поверхности заготовки-кольца строго между кулачками равно

;

    – отклонение формы (отклонение от круглости) заготовки-кольца, возникающее в связи с ее деформациями при закреплении. 

При необходимости исследуем напряженное состояние заготовки-кольца (определяем коэффициент S запаса статической прочности). Для свободного от нагрузки участка заготовки-кольца построим эпюру изгибающих моментов, учитывая симметрию нагружения, для угла   в диапазоне  . Значения изгибающего момента определим по следующей формуле . Условие прочности для опасного сечения заготовки-кольца 

.

Так как представленный алгоритм может быть реализован методом последовательных приближений, то целесообразно в соответствие с данным алгоритмом разработать программу для ЭВМ.

3.5. Методика расчета с использованием графиков.

Методика расчета с построением графиков является наглядной и позволяет достаточно просто производить анализ представленных на них данных. В данной статье для примера графики  построены для кулачковых оправок с тремя кулачками (). Полученные результаты сравним с результатами, определенными по известной методике расчета закрепления заготовки-кольца тремя сосредоточенными силами [7, 8]. 

В известной методике расчета считают, что кулачки взаимодействуют с отверстием заготовки-кольца в точках, в которых приложены сосредоточенные силы . Перемещения точек заготовки-кольца определяются методами сопротивления материалов и составляют:   

 – под кулачком;

 – строго между кулачками.

Отклонение формы от сил закрепления равно . Из представленных уравнений видно, что отклонение формы  линейно зависит от  величины силы  .

В предлагаемой методике расчета при построении графиков расчетные зависимости были преобразованы для общности к безразмерному виду. Расчеты выполнялись с переборами двух параметров, которые были получены при указанных преобразованиях:

   – безразмерного радиального зазора ;

   – безразмерной силы, действующей на один кулачок, .

В расчете также использовался безразмерный параметр отклонения формы заготовки-кольца  и безразмерный параметр перемещения точки заготовки-кольца под кулачком  .

Отличие предлагаемой методики от известной методики заключается в том, что в предлагаемой методике учтены реальные контактные параметры при взаимодействии кулачков с тонкостенной заготовкой-кольцом: размеры площадки контакта, форма эпюры контактного давления  и значения параметров эпюры контактного давления.

В результате выполненных расчетов построены графики, показанные на рис. 1-3. Все параметры, представленные на графиках за исключением полуугла контакта, даны в безразмерном виде, обеспечивающим общность.

На рис. 1 представлено семейство кривых, позволяющих по заданным безразмерным параметрам  и   определить безразмерное значение отклонения формы заготовки-кольца . 

Если кривая, показанная на графике, см. рис. 1, заканчивается точкой «А», то это означает, что значение  в точке «А» соответствует полууглу контакта φ₀= 40˚. Этот угол можно считать предельным для расчета. Для  φ₀= 40˚  общий угол контакта 3-х кулачков с отверстием заготовки равен , и из-за большой ширины кулачков возникают сложности с проектированием кулачковой оправки. Спроектировать можно только оправку с грибковыми кулачками.

На рис. 1 прямая линия «а» является решением по известной методике расчета. Видно, что полученные кривые переходят в прямую «а» при небольших нагрузках. Это является подтверждением правильности выполненных исследований и полученных результатов.

На рис. 2 представлено семейство кривых, позволяющих по заданным безразмерным параметрам  и   определить полуугол контакта φ₀.

Значение полуугла контакта φ₀ существенно влияет на отклонение формы заготовки-кольца . Это видно, если на  рисунках 1 и 2 для кривых с одним и тем же значением безразмерного параметра  проследить, как изменяются φ₀ и безразмерный параметр  с увеличение безразмерного параметра (с увеличением силы ). Указанное влияние полуугла контакта φ₀  на отклонение формы заготовки-кольца  используется при проектировании кулачковых оправок и грибковых наладок для повышения точности обработки тонкостенных заготовок-колец. При этом головки традиционных или грибковых кулачков шлифуют в расчетный размер, который обеспечивает допустимое значение отклонения формы тонкостенной заготовки-кольца.

Как отмечалось выше, вычисления производились до предельного значения полуугла контакта φ₀= 40˚, что соответствует показанным на рисунке 2 графикам.

Рис. 1. Графики для определения отклонения формы заготовки-кольца.

Рис. 2. Графики для определения полуугла контакта φ₀.

На рис. 3 представлен график, с помощью которого можно определить абсолютные значения перемещений   и .

Рис. 3. Графики для определения перемещений  и .

Для определения абсолютных значений перемещений  и  надо:

– рассчитать безразмерные параметры  и  ;

– по графикам на рис. 1 и 2 определить полуугол контакта φ₀ и безразмерный параметр ;

– рассчитать значение  и разделить его пополам. Полученное значение будет равно следующей сумме ;

– по графику на рис. 3 для полученного полуугла контакта φ₀ определить значение безразмерного параметр . Если это значение умножить на полученную выше сумму  , то мы и получим значение  . Далее из полученной суммы  вычитаем значение    и получаем абсолютную величину перемещения  .

На графике, см. рис. 3, значение   для полуугла контакта  φ₀= 0˚ является решением по известной методике расчета. Полученное значение  и значение этого же параметра по известной методике совпадают, что является подтверждением правильности выполненных исследований и полученных результатов.

Следует отметить, что аналогичные графики можно построить для любого количества кулачков  кулачковой оправки или грибковой наладки.

3.6. Пример расчета.

Заданы следующие размеры стальной ( МПа) заготовки-кольца: наружный диаметр  мм; диаметр отверстия  мм;  длина  мм. Поле допуска на диаметр  соответствует Н8. Необходимая сила закрепления заготовки-кольца, действующая на один кулачок  Н. Допускаемое значение отклонения формы заготовки-кольца   мм.

Определить размеры кулачка 3-х кулачковой оправки, обеспечивающие допускаемую погрешность формы  .

Расчет по известной методике. 

Определим дополнительные исходные данные (отклонение размера   в пределах поля допуска не учитываем):

– радиус отверстия заготовки-кольца ;

– толщину поперечного сечения заготовки-кольца  мм;

– радиус срединной поверхности заготовки-кольца  мм;

– момент инерции поперечного сечения заготовки-кольца мм⁴.

Решить поставленную задачу нельзя. Можно только определить, чему равно отклонение форму заготовки-кольца, если она закрепляется сосредоточенными силами  . Выполним этот расчет.

 мм

Этот результат почти в 3 раза превышает расчетное значение  мм.

Расчет по предлагаемой методике.

Так как диаметр отверстия заготовки-кольца может изменяться в пределах поля допуска на этот диаметр, то расчет имеет вероятностный характер. Допуск на размер диаметра отверстия   мм  по 8-му квалитету точности равен  54 мкм [8]. Расчет будем проводить для:

– наименьшего отверстия заготовки-кольца  мм;

– среднего отверстия заготовки-кольца  мм;

– наибольшего отверстия заготовки-кольца  мм;

Наибольшую погрешность формы заготовки-кольца дает вариант взаимодействия кулачка с наибольшим отверстием заготовки-кольца. Поэтому сначала выполним расчеты для этого варианта.

Определим дополнительные исходные данные:

– радиус отверстия заготовки-кольца   мм;

– толщину поперечного сечения заготовки-кольца мм;

– радиус срединной поверхности заготовки-кольца мм;

– момент инерции поперечного сечения заготовки-кольца  мм⁴.

Определим безразмерные параметры

;     .

На семействе графиков, см. рис. 1, поставим точку с координатами  ;  и определим, что она находимся между кривой с  и кривой с . С помощью линейной интерполяции определим, что эта точка соответствует  .

Из следующего уравнения    определим радиальный зазор  мм. Отсюда радиус цилиндрической поверхности кулачка   мм. Полученное значение радиуса   должно быть меньше, чем наименьший радиус отверстия заготовки-кольца  мм, что соответствует действительности. В противном случае будут кромочные контакты кулачка с отверстием заготовки.

С помощью семейства кривых, см. рис. 2, для    и   определим значение полуугла контакта  φ₀≈ 27˚.

Определим перемещения точек заготовки-кольца. Для φ₀≈ 27˚, см. рис. 3, значение безразмерного параметра . При этом   мм. Отсюда  мм, а    мм.

Выполним аналогичные расчеты для  и  , и полученные результаты сведем в следующую таблицу.

Проанализируем, представленные в таблице, результаты. В пределах поля допуска на размер отверстия заготовки-кольца или в зависимости от величины радиального зазора :

– радиус отверстия заготовки-кольца , толщина поперечного сечения заготовки-кольца , радиус срединной поверхности заготовки-кольца  и момент инерции поперечного сечения заготовки-кольца  незначительно изменяются;

– более интенсивно меняется полуугол контакта ;

– отклонение формы заготовки-кольца   и перемещения точек заготовки-кольца под кулачком  и строго между кулачками  существенно изменяются. Такие изменения позволяют подобрать радиус цилиндрической поверхности кулачка для обеспечения требуемой точности.   

Чтобы не было кромочных контактов кулачка с отверстием заготовки-кольца, нужно, чтобы минимально возможная ширина кулачка . Из таблицы видно, что . Отсюда из геометрии, см. рис. 4, определим минимальную ширину кулачка   мм. В запас ширины кулачка примем, соответствующее рекомендуемому ряду Ra40 предпочтительных размеров [8], значение   мм, см. рис. 4.

Рис. 4. Форма кулачка: а – грибковой наладки; б – кулачковой оправки.

Таким образом, размеры кулачка оправки, которая обеспечивает заданную точность обработки, составляют  мм  и   мм, см. рис. 4. Кулачок может быть грибковым (см. рис. 4,а) или иметь традиционную форму (см. рис. 4,б).

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Рассмотрен случай, когда охватывающая тонкостенная заготовка-кольцо закрепляется  n равномерно расположенными по угловой координате кулачками. При этом интерес представляет определение погрешности формы заготовки-кольца от сил закрепления и, в ряде случаев, напряженное состояние заготовки-кольца.

2. В статье представлен аналитический алгоритм расчета основных параметров при закреплении заготовки-кольца  n равномерно расположенными по угловой координате кулачками. Указанный алгоритм отличается от известных тем, что в нем учтены реальные контактные параметры при взаимодействии кулачков с тонкостенной заготовкой-кольцом: размеры площадки контакта, форма эпюры контактного давления  и значения параметров эпюры контактного давления.

3. В статье для случая закреплении заготовки-кольца тремя равномерно расположенными по угловой координате кулачкам в безразмерном виде, обеспечивающем общность, построены графики. Графики позволяют определить полуугол контакта, погрешность формы заготовки-кольца при ее закреплении тремя кулачками и перемещения точек срединной поверхности заготовки-кольца под кулачком и строго между кулачками.

4. Приведен пример, в котором используются графики. В примере определяются радиус цилиндрической поверхности кулачка и его ширина для обеспечения заданной точности с учетом разброса размеров отверстия заготовки-кольца в пределах поля допуска. Радиус цилиндрической поверхности кулачка выбирается таким образом, чтобы для максимально возможного диаметра заготовки-кольца обеспечивалась заданная точность, а для минимально возможного диаметра заготовки-кольца не было кромочных контактов.

5. Разработанная методика расчета может широко использоваться для расчетов и конструирования кулачковых оправок, грибковых наладок и других приспособлений при закреплении в них тонкостенных заготовок базовым отверстием, а также для  определения погрешностей формы заготовок при их закреплении в станочных приспособлениях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Блинов Д.С., Алешин В.Ф.  Определение эпюры контактного давления для соединения деталей по цилиндрическим поверхностям с малым зазором (случай, когда охватывающая деталь безгранична в радиальном направлении). Электронный журнал «Наука и образование: электронное научно-техническое издание» МГТУ им. Н.Э. Баумана, # 05, май 2011.

2. Блинов Д.С., Алешин В.Ф.  Определение напряженно-деформированного состояния охватывающей детали соединения по цилиндрическим поверхностям с малым зазором (случай, когда охватывающая деталь безгранична в радиальном направлении).    Электронный журнал «Наука и образование: электронное научно-техническое издание»  МГТУ им. Н.Э. Баумана, # 06, июнь 2011.

3. Блинов Д.С., Алешин В.Ф. Инженерная методика расчета соединения деталей по цилиндрическим поверхностям с малым зазором (случай, когда охватывающая деталь безгранична в радиальном направлении). Примеры.  Электронный журнал «Наука и  образование:  электронное  научно-техническое  издание»  МГТУ  им. Н.Э. Баумана, # 06, июнь 2011.

4. Блинов Д.С., Алешин В.Ф. Разработка методики расчета соединений деталей по цилиндрическим поверхностям с малым зазором для случая, когда охватывающая деталь тонкостенная.  Электронный журнал «Наука и  образование:  электронное  научно-техническое  издание»  МГТУ  им. Н.Э. Баумана, # 11, ноябрь 2011.

5. Бахвалов Н. С.  Численные методы. – М.: Наука, 1975. – 632 с.

6. Демидович Б.П.,  Марон И.А., Шувалова Э.З.  Численные методы анализа. – М.: Физматгиз, 1963. – 400 с.

7. Корсаков В.С. Основы конструирования приспособлений.  – М.: Машиностроение, 1983. – 277 с.

8. Станочные приспособления: Справочник. В 2-х томах. / Ред. совет: Б.Н. Вардашкин (пред.) и др. – М.: Машиностроение, 1984. – Т. 1 – 592 с.,  – Т. 2 – 656 с.