Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

77-30569/224791 Исследование одномерной модели течения струи заряженного газа

# 08, август 2011
Файл статьи: Кравченко_P.pdf (663.29Кб)
автор: Кравченко О. В.

УДК:  51-73

МГТУ им. Н.Э. Баумана

olekravchenko@gmail.com

1.     Введение

Большинство исследуемых в технике нелинейных динамических систем являются неконсервативными. В таких системах энергия может не только диссипировать из-за потерь, но и пополняться из-за неустойчивостей. Для таких систем принципиально новым явлением по сравнению с консервативными системами служит явление автоколебаний. То есть таких колебаний, поддерживаемых внешними возмущениями, вид и свойства которых определяются самой системой. Системы или среды в которых могут происходить автоколебательные процессы с точки зрения теории нелинейных волн описываются одним из модельных уравнений [1, 2]. Вид такого уравнения определяется характеристиками среды: дисперсией и нелинейностью. Подобное наблюдается в нелинейных консервативных средах, где для одномерных волн основным является нелинейное уравнение переноса

                                          (1)

и уравнение Бюргерса для сред с линейной вязкостью

.                                       (2)

Если в среде присутствует только консервативная нелинейность, то низкочастотная неустойчивость при учёте вязкости также приводит к автоколебаниям [1], которые в одноволновом приближении описываются уравнением

.                                     (3)

Уравнение (3) является одним из основных (эталонных) в теории неравновесных волн в нелинейных средах [2]. Такое уравнение (3) называют модифицированным уравнением Бюргерса. Если в уравнении (3) присутствует нагрузка , зависящая от времени, то такое уравнение называют модифицированным уравнением Бюргерса с нагрузкой

.                                    (4)

На настоящий момент не существует физической модели и теории возникновения молнии в атмосфере. В работе [3] предложена простая модель возникновения молнии, основанная на уравнениях гидродинамики заряженного газа. Нелинейной средой здесь является атмосфера в целом, а в частности – облака, имеющие заряж. От системы гидродинамических уравнений осуществляется переход к более простому уравнению вида (4), для которого при  найдено волновое решение. Вместе с этим, остаётся открытым вопрос об аналитическом решении в общем случае. Кроме того, в силу нелинейности задачи, решающее значение приобретает вопрос о влиянии начальных условий на характер решения.

Работа состоит из трёх частей. В первой части, согласно [3], изложена гидродинамическая модель течения струи заряженного газа. Во второй части представлено решение для уравнения типа (4) в общем случае. В третьей части, для стационарного случая рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение методом фазовой плоскости, с помощью которого установлены различные типы движений, реализуемые в модели.

2.     Одномерная модель течения струи заряженного газа

Исследуемая модель состоит в следующем. Слабоионизированная газовая среда (облако в атмосфере) как единое целое движется под действием разности давлений со скоростью . Заряженные частицы (или ионизованный газ) движутся с незаряженными частицами как единое целое. Однако, на заряженные частицы помимо гидродинамических сил действует электростатическое поле атмосферы, а также поле самих зарядов. Задача состоит в том, чтобы найти пространственное распределение электростатического поля и плотности зарядов. Такая задача сводится к совместному решению уравнений движения для заряженной среды (жидкости или газа), непрерывности и Пуассона, которые можно записать в виде системы

                                   (5)

Здесь  – заряд частицы,  – масса частицы,  – скорость частицы,  – концентрация частиц,  – концентрация частиц противоположного знака,  – температура среды,  – постоянная Больцмана,  – диэлектрическая проницаемость среды,  – эффективная частота соударения. Систему (5) можно преобразовать к нелинейному уравнению в частных производных введением безразмерных переменных. Согласно [3] для случая электрически нейтральной среды, когда  и  одного порядка, система (5) переходит в уравнение относительно безразмерной напряжённости

,

заменив на , получим уравнение вида (4)

.                              (6)

Если среда не является электрически нейтральной (при ), то система (5) переходит в уравнение

,

замена  приводит к уравнению

.                          (7)

В [3] показано, что волновое решение уравнения (7) является разрывным

,    

где  – постоянные интегрирования, а  – функции Эйри. Разрывные решения имеют следующую интерпретацию: в точках разрыва напряжённость поля формально имеет сколь угодно большое значение. Образуется почти периодическая цепочка заряженных сгустков, между которыми расположены незаряженные области. Исследование условий образования подобных сгустков – заряженных кластеров представляет физический интерес, а резульатты для случая статического поля изложены в [5-7]. Таким образом, возникает необходимость в отыскании аналитического решения уравнения (6), а также в выявлении роли начальных условий, которые определяют поведение решений нелинейного уравнения.

3.     Аналитическое решение

Будем искать решение уравнения (6) в виде

.                           (8)

Для определения функций , подставим (8) в (6)

.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему

.                               (9)

Система (9) является интегрируемой. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что ей удовлетворяют функции

  и .

Таким образом, решение уравнения (6) в виде разложения (8) имеет вид

 .             (10)

Формально, решение (10) найдено, но такое решение является вырожденным в силу линейности по координате . Это означает следующее. Будем решать задачу Коши для уравнения (6) на отрезке . Граничными условиями примем однородные условия Неймана:

                                     (10)

Продифференцировав решение (10) по координате, в силу структуры решения, получим функцию, зависящую только от времени и не зависящую от координаты . Отсюда, решение (10) является нечувствительным к граничным условиям типа Неймана. По-видимому, можно предложить такое решение уравнения (10), в котором переменные  входят нелинейным образом, однако, автору оно в настоящий момент не известно.

4.     Фазовый портрет в стационарном случае

Для ответа на вопрос о роли начальных условий используем методы теории фазового пространства [8],[9]. В стационарном случае уравнение в частных проихводных (6) перейдёт в обыкновенное дифференциальное уравнение

                                   (11)

Перенесём начало отсчёта в положение равновесия , то есть введём новую переменную . Такая замена преобразует уравнение (11) в уравнение вида

Здесь первые три слагаемых представляют собой линейную колебательную систему, к которой сводится описание системы (11) при достаточно малых вариациях, когда нелинейное слагаемое  становится величиной второго порядка малости и им можно пренебречь. Перепишем уравнение (12) в виде системы

                               (12)

Система (13) имеет следующий фазовый портрет рис. 1 а). Координата  играет роль фазового времени, то есть парметра, изменияющего координаты некоторой точки на плоскости . Область  является область с такими начальными условиями, для которых временные решения уходят на бесконечность за конечное время. Характерные временные решения для областей  и  представлены на рис. 1 б),в).

Описание: D:\aspirantura\paper\tex\portrait.jpg

а)

Описание: D:\aspirantura\paper\tex\tsol1.jpg

б) характерное временное
решение области

Описание: D:\aspirantura\paper\tex\tsol2.jpg

в) характерное временное
решение области

Рис.1. а) фазовый портрет на плоскости  б), в) временные решения

5.     Заключение

В начтоящей работе аналтически исследовалась модель течения струи заряженного газа (в одномерном случае) [3] в виде нелинейного уравнения (6). Представлено аналитическое решение уравнения (6), которое, однако, является вырожденным. Роль начальных условий в стационарном случае удалось определить при помощи метода фазовой плоскости. В зависимости от выбора начальных условий в той или иной области, существенно меняется характер поведения модели. При определённом выборе начальных условий решения модели возрастают очень быстро при малом изменении значений аргумента. Такое поведение нелинейной системы согласуется с наличием в модели разрывных решений.

Автор выражает благодарность своему руководителю – академику РАН, д.ф.-м.н., зав. Каф. РЛ3 МГТУ им. Н.Э. Баумана Владиславу Ивановичу Пустовойту за постановку задачи, а также профессорам Владимиру Георгиевичу Сапогину и Михаилу Владимировичу Капранову за ценные замечания, сделанные автору при выполенению работы.

Список литературы

1.      Рабинович М.И. Автоколебания распределённых систем // Известия вузов. 1974. Т.14, ╧4. С. 477-510.

2.      Рабинович М.И., Фабрикант А.Л. Нелинейные волны в неравновесных средах // Известия вузов. 1976. Т.19, ╧5-6. С. 721-766.

3.      Пустовойт В.И. О механизме возникновения молнии // Радиотехника и электроника. 2006. Т.51, ╧8. С.996-1002.

4.      Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. Для вузов. 2-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 368 с.

5.      Сапогин В.Г. Механизмы удержания вещества самосогласованным полем. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. 254 с.

6.      Сапогин В.Г. Неупругое взаимодействие электронного кластера с плоской поверхностью // Известия ТРТУ. 2001. ╧1. С. 165-168.

7.      Сапогин В.Г. Бесстолкновительный кластер плоской динамической системы зарядов с V-образной потенциальной щелью // Вестник Южного научного центра РАН. 2005. Т. 1, ╧2. С.9-16.

8.      Капранов М.В. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984. 320 с.

9.      Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 520 с.


Тематические рубрики:
Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2024 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)