УДК 536.75

        

          

             

           

             Принято считать, что теплопроводность сверхпроводников в области температур  обусловлена релаксацией фононной подсистемы и носит в принципе такой же характер что и в диэлектриках. Однако прекраще-ние роста и последующее вслед за этим резкое уменьшение решеточной сос-тавляющей  однозначно указывают на существование дополнительного механизма рассеяния, роль которого может быть определяющей, начиная с  (рис. 1). Таким механизмом, по-видимому, является резонансное рассеяние квазичастиц (обычных электронов). На фоне рассеяния фононов примесями, дефектами и границами образца резонансное рассеяние как бы «ускоряет» динамику падения, внося тем самым определенный вклад в обеспечение стационарности режима падения (в том, что в области спада  могло накопиться необходимое для этого число квазичастиц можно объяснит

например, эффектом «увлечения обычных электронов фононами»).

Характерная длина волны квазичастицы в актуальной области температур на несколько порядков превышает радиус действия поля примеси

 (т.е. Å), что позволяет ограничиться при исследовании влия-ния резонансного рассеяния на динамику спада  волнами.

Минимальная длина когерентности  на порядок превышает  (где эффективный радиус резонансного уровня ), соответственно средняя вероятность резонансного рассеяния обычных электронов на порядок превы-шает вероятность их спаривания. В этом смысле можно сказать, что резо-нансное рассеяние как бы «блокирует»  спаривание квазичастиц, препят-ствуя их переходу в сверхпроводящее состояние. Величина щели мэВ одного порядка с величиной  в  полупроводниках [2,3] (переход в сверхпро-водящее состояние не влияет на состояние ), так что подавляющая часть квазичастиц вблизи пФ подвержена резонансному рассеянию при одновремен-ном выполнений условий: и . В то же время не исключена возмож-ность положительной корреляции между резонансным рассеянием и сверх-проводимостью [4]. Резонансный уровень при этом играет роль центра захва-та квазичастиц с последующим их спариванием. Легко, однако, показать, что вероятность такого процесса весьма мала. Отмеченная выше положитель-ная корреляция имеет место только при концентрациях .  

В предлагаемой  работе на основе допущения выполнения вышеуказан-ных условий в рамках изотропной модели БКШ рассматривается метод определения возможного резонансного уровня в сверхпроводящих образцах, содержащих небольшие концентрации примеси (). При этом, разуме-ется, исключается область температур, близких к абсолютному нулю, где число квазичастиц экспоненциально мало: . 

Методика расчета

Тепловой поток определяется соотношением

 ,                                        (1)

где  возмущенная функция распределения квазичастиц, находящихся  под действием  температурного  градиента и взаимодействующих с атомами  при-

меси. Для ее нахождения запишем соответствующее кинетическое уравнение:

.                                        (2)

Здесь энергия  квазичастицы, энергия квази-частицы в нормальном металле, отсчитанная от пФ;, время релаксации квазичастиц на примесях.

         С левой стороны вместо  подставим  равновесную функцию ;  тогда уравнение (2) приводится к виду

.                                            (3)

         Задача нахождения   осуществляется следующим образом: запишем гамильтониан  взаимодействия  квазичастиц с атомами примеси в представ-лении вторичного квантования:  

 ,                            (4)

где и  ферми-операторы рождения и уничтожения квазичастиц, матричный элемент плавной части , который можно аппроксими-

ровать формулой [5] (при слабых возбуждениях):

,                           (5)

где нормировочный объем, , квазиимпульс.  

Выполняя стандартное преобразование Боголюбова гамильтониан (4) (с учетом (5)) можно привести к виду

                           (6)

описывающему сверхпроводящее состояние (число квазичастиц).

Далее с помощью формулы  находим:

.                            (7)

             Подставляя полученное выражение для   в уравнение (3), находим искомую функцию распределения   и далее вычисляем коэффициент тепло-проводности :   

 ,

,  ,  (8)

 

сравнивая обе части (8) при общем множителе  получим

.

В результате имеем

,                                        (9)

          

 

Если положить, то мы придем к квадратичному закону изменения:

.                             (10)

Наличие квадратичного члена в (9) с учетом знака  приводит к тому, что имеет максимум при . Подобные максимумы действительно наблюдаются для благородных металлов [6, стр.227].

В пределе  из (9) следует результат Бардина, Рикайзена и Тевордта со-ответствующий модели непроницаемых сфер:. 

         Формула (9) в том виде, в котором она написана, не вполне удобна для теоретических расчетов, поэтому целесообразно придать ей компактную фор-

му.  С помощью  формулы   и последующим

суммированием рядов функцию можно привести к виду

  .                (11)  

Следовательно

.                    (12)

Здесь учтено что , , .

В итоге приходим к формуле для определения:

                   .                    (13)

         Пороговые значения проявления резонансного рассеяния:  и  для ниобия [1] (рис.1). Подставляя эти значения в (13) получиммэВ. Полученное значение  по порядку величины согласует-ся с результатами измерения резонансного уровня в полупроводниках [2,3].   

Заключение

         Основным результатом настоящей работы являются формулы (7), (10) и (13), позволяющие вычислить соответственно среднее время релаксации, зна-

чение резонансного уровня в благородных металлах и сверхпроводниках.

Спад теплопроводности обусловлен не столько рассеянием фононов на границах и дефектах кристалла, сколько резонансным рассеянием обычных электронов (строго говоря, в принципе возможны и другие механизмы релаксации, однако мы акцентируем внимание именно на резонансном рассе-

янии).

Наличие острого максимума на экспериментальной кривой теплопрово-

дности однозначно указывает на появление резонансного рассеяния,специфи-

ка которого отражается ходом кривой: при незначительном понижении тем-пературы наблюдается аномально высокий прирост теплового сопротивления

В актуальной области интегралы в (12) не очень чувствительны к функ-

ции , что позволяет получить нижнюю оценку :                                            

 ,

тогда для верхнего предела сечения рассеяния получим

см²,  

для среднего времени задержки:

с.

Полученное значение  соответствует «shape»-резонансам в случае газовой фазы. Соответственно для аппроксиманты(с учетом и дру-

гих возможных механизмов релаксации) имеем

.

Таким образом, каждый последующий учет какого либо возможного механизма релаксации дает график, прилегающий к экспериментальной кри-вой все теснее и теснее, восстанавливая тем самым истинный ход спада и подчеркивая при этом его резонансный характер в окрестности максимума.

         Предложенную методику расчета можно легко обобщить на случай сверхпроводящих низкоразмерных структур с квантовыми ямами на основе методики предложенной в работе [7].

 

 

Список литературы

 

[1]  М. Коэн, Г. Глэдстоун, М. Йенсен, Дж. Шриффер. Сверхпроводимость

       полупроводников и переходных металлов. Мир, М. (1972). 316 с.

[2]  В.Н. Александров, Е.М. Гершензон, А.П. Мельников, Н.А. Серебрякова.                                                 

       ЖЭТФ, 70, 4, 586 (1976). 

[3]  В.Ф. Банная, Л.И. Веселова, Е.М. Гершензон. ФТП 23, 2, 338 (1989).

[4]  С.А. Немов, П.А. Осипов, В.И. Прошин, Р.В. Парфеньев, Д.В. Шамшур,  

       Н.П. Шайнова. ФТТ 42, 7, 1180 (2000).

[5]  A. Blom, M.A. Odnoblyudov, I.N. Yassievich, K.A. Chao. Phys. Rev. B,

       V.65, 155302 (2002).

[6]  Ф. Блатт. Физика электронной проводимости в твердых телах. Мир, М.   

       (1971). 472 с.

[7]   I.N. Yassievich, A. Blom, A.A. Prokofiev, M.A. Odnoblyudov, K.A. Chao.

        Physica B 308-310, 1129  

        (2001).