Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Математическое моделирование кинематики и динамики робота-манипулятора типа ╚хобот╩. 1. Математические модели секции манипулятора, как механизма параллельной кинематики типа ╚трипод╩

# 10, октябрь 2009
DOI: 10.7463/1009.0133262
авторы: Каганов Ю. Т., профессор, д.ф.-м.н. Карпенко А. П.

УДК 519.6

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 105005,
Москва, 2-я Бауманская ул., д.5.

karpenko@nog.ru

 

 

Введение

            В настоящее время в машиностроении актуальной является задача разработки технологических машин для выполнения механической обработки внутренних поверхностей полостей сложной формы, например, внутренних каналов охлаждаемых лопаток турбин для авиационной и космической техники. В технологии катастроф необходимы машины для организации доступа к внутренним объемам разрушенных зданий и сооружений. Аналогичные задачи возникают также, при проведении ремонтных и восстановительных работ в трубопроводах, при проведении ряда хирургических операций и т.д. Обычно для решения перечисленных задач используются многозвенные рычажные манипуляторы либо гибкие манипуляторы.

            Серьезным недостатком таких манипуляторов является их недостаточная жесткость, усложняющая управление ими, затрудняющая использование высокоэнергетического обрабатывающего инструмента и достижение высокой точности обработки. В значительной мере преодолеть указанные недостатки могут манипуляторы типа "хобот", построенные на основе многосекционных механизмов с параллельной структурой.

            Наиболее известным примером механизма с параллельной кинематикой является гексапод или платформа Стюарта, которая состоит из двух пластин, шарнирно соединенных шестью поступательными парами. При изменении длины этих пар происходит пространственное перемещение верхней пластины относительно нижней.

            Отметим, что механизмы с параллельной кинематикой требуют использования не прямоугольного (нелинейного) базиса, что порождает следующие особенности манипуляторов такого класса [1]:

а)                 анизотропия и неоднородность динамических, упругих и скоростных свойств манипулятора;

б)                 возможность потери управляемости в некоторых конфигурациях манипулятора;

в)                 возможность интерференции отдельных кинематических цепей манипулятора, т.е. их соприкосновения;

г)                 сложность задания движений манипулятора в обобщенных координатах, связанных со степенями подвижности манипулятора.

            Известно несколько проектов, посвященных разработке роботов-манипуляторов типа «хобот». В качестве примеров приведем проект OCTOR, осуществляемый рядом университетов США, а также проект OctArm, реализуемый также американскими университетами. Проекты находятся в стадии создания опытных образцов роботов. Упомянем также манипуляционный робот LX-4 компании Logabex построенный на основе гексаподов совместно компанией Logabex и университетом Торонто (Канада). Манипулятор состоит из 4-х идентичных механизмов параллельной кинематики типа «гексапод» и производится серийно [2].

            В первом разделе работы рассматриваются варианты кинематических схем манипулятора типа «хобот» и обосновывается выбор рассматриваемых схем. Второй раздел посвящен разработке математических моделей кинематики и динамики трипода с двумя степенями свободы. Аналогично в третьем разделе рассматривается трипод с тремя степенями свободы. В четвертом разделе рассматриваются математические модели указанных механизмов с параллельной кинематикой, полученные средствами известного программного комплекса MatLab. В заключении формулируются основные результаты работы.

            В работе используется двухуровневая нумерация формул и рисунков, содержащая номер раздела и номер объекта в этом разделе.

 

1 Кинематические схемы звеньев манипулятора

            Вообще говоря, хобот слона, например, способен выполнять следующие движения: растяжение/сжатие; изгиб в любой из плоскостей; поворот вокруг свой оси. В зависимости от целевого назначения робота-манипулятора может быть необходимым воспроизведение не всех этих движений. Поэтому будем рассматривать следующую иерархию возможностей манипулятора:

- изгиб манипулятора в любой из плоскостей;

- изгиб манипулятора в любой из плоскостей, растяжение/сжатие;

- изгиб манипулятора в любой из плоскостей, растяжения/сжатия, поворот вокруг своей продольной оси;

- изгиб манипулятора в любой из плоскостей, растяжения/сжатия, поворот вокруг своей продольной оси, плоско-параллельное перемещение.

            Для построения манипуляторов первого типа достаточно, чтобы соседние звенья манипулятора обладали двумя вращательными степенями подвижности относительно осей, перпендикулярных продольной оси манипулятора.

            В манипуляторе второго типа к указанным двум степеням свободы добавляется одна поступательная степень свободы – смещение последующего звена манипулятора относительно продольной оси симметрии его предыдущего звена.

            В манипуляторе третьего типа по сравнению с манипулятором второго типа добавляется еще одна вращательная степень свободы – вращение последующего звена манипулятора вокруг оси симметрии предыдущего звена.

            Манипулятор четвертого типа обладает всеми шестью степенями подвижности – к возможным перемещениям манипулятора третьего типа добавляется два поступательных перемещения. 

            Отдельного рассмотрения заслуживает последнее звено манипулятора (на котором устанавливаются рабочие органы манипулятора). Целесообразно исходить из необходимости обеспечения перемещения этих органов по пяти-шести координатам.

            1.1. Трипод с двумя степенями свободы. Манипуляторы первого типа будем строить на основе механизма с параллельной кинематикой типа трипода, который состоит из неподвижного основания, подвижной платформы, трех штанг, каждая из которых состоит из двух стержней и активной поступательной кинематической пары (привода), а также из центрального неподвижного стержня – рисунок 1.1.

            Для оценки числа степеней свободы  платформы используем известные формулы Грюблера и Сомова-Малышева.

 

 - сферические шарниры;  - шарниры Гука;

1,2,3 – поступательные кинематические пары

Рисунок 1.1 - Схема трипода с двумя степенями подвижности

 

            Формула Грюблера имеет вид

,                                                            (1.1)

где  - число подвижностей механизма (управляемых параметров);  - число степеней свободы твердого тела в пространстве;  - общее число твердых тел;  - общее число соединений;  - число степеней свободы каждого из соединений.

            Для трипода, представленного на рисунке 1.1, ,  и  (сферический шарнир),  (шарнир Гука),  (поступательная кинематическая пара). Итого,

2,

т.е. трипод имеет две степени свободы (вращательных).

            Формула Сомова-Малышева имеет вид

,                                                          (1.2)

где  - число степеней свободы твердого тела в пространстве;  - число подвижных звеньев механизма;  - число подвижных кинематических пар, имеющих степень подвижности .

            Для трипода, представленного на рисунке 1.1, ,  (поступательная кинематическая пара),  (шарнир Гука),  (сферический шарнир). Таким образом, так же, как по формуле Сомова-Малышева (1.1), имеем

.

            1.2 Трипод с тремя степенями свободы. Для построения манипуляторов второго типа также используем механизмов с параллельной кинематикой типа «трипод», который состоит из неподвижного основания, подвижной платформы и четырех штанг ног, каждая из которых состоит из двух стержней и активной поступательной кинематической пары (привода) – рисунок 1.2.

 

 - шарниры Гука;  - сферические шарниры; 1,2,3, 4 – поступательные кинематические пары

Рисунок 1.2 - Схема трипода с тремя степенями подвижности

 

            По формуле (1.1) для этого трипода имеем ,  и  (поступательная кинематическая пара),  (шарнир Гука),  (сферический шарнир), так что

.

Таким образом, трипод, представленный на рисунке 1.2, имеет три степени свободы (две вращательные и одну поступательную).

            Аналогично, из формулы (1.2) следует, что ,  (поступательная кинематическая пара),  (шарнир Гука),  (сферический шарнир) и

.

         1.3 Гексапод с четырьмя степенями свободы. В качестве звеньев манипуляторов третьего типа будем рассматривать механизм с параллельной кинематикой типа «гексапод», который состоит из неподвижного основания, подвижной платформы, шести штанг, каждая из которых состоит из двух штанг и активной поступательной кинематической пары (привода), а также аналогичной седьмой центральной штанги, неподвижно связанной с основанием, а с помощью сферического шарнира – с платформой (рисунок 1.3).

 

 

 - сферические шарниры;  - шарниры Гука;

1 - 7 – поступательные кинематические пары

Рисунок 1.3 - Схема гексапода с четырьмя степенями подвижности

 

            По формуле Грюблера (1.1) имеем , ,  (поступательные кинематические пары),  (шарниры Гука), . (сферические шарниры), Таким образом,

.

            Аналогично из формулы Сомова-Малышева (1.2) следует, что ,  (поступательные кинематические пары),  (шарниры Гука),  (сферические шарниры). Итого,

.

            1.4Гексапод с шестью степенями свободы.В качестве звеньев манипуляторов четвертого типа будем рассматривать механизм с параллельной кинематикой типа «гексапод», который состоит из неподвижного основания, подвижной платформы и шести ног, каждая из которых состоит из двух стержней и активной поступательной кинематической пары (привода) - рисунок 1.4.

 

 - сферические шарниры;  - шарниры Гука;

1,2,3 – поступательные кинематические пары

Рисунок 1.4 - Схема гексапода с шестью степенями подвижности

 

            По формуле Грюблера (1.1) имеем , ,  (поступательные кинематические пары),  (шарниры Гука),  (сферические шарниры). Таким образом,

.

            Аналогично из формулы Сомова-Малышева (1.2) следует, что ,  (поступательные кинематические пары),  (шарниры Гука),  (сферические шарниры). Итого,

.

 

         2 Кинематика и динамика трипода с двумя степенями свободы

            2.1 Обратная задача кинематики. Использование механизмов параллельной кинематики приводит к усложнению задач управления манипуляторами на основе этих механизмов. Однако некоторые задачи кинематики и для таких механизмов, например, обратная кинематическая задача, решаются просто.

            Пусть обобщенными координатами  являются длины стержней , ,  соответственно (рисунок 2.1). Пусть также в неподвижной декартовой системе координат  координаты точек  равны , а точек  - , где , . Тогда, очевидно, решение обратной задачи кинематики для трипода (как с двумя, так и с тремя степенями сободы) дает следующая система уравнений:

;

;

.

 

Рисунок 2.1 – Схема трипода

        

            2.2 Прямая задача кинематики. Свяжем с основанием систему координат  таким образом, что начало координат A совпадает с центром симметрии основания, ось  проходит через шарнир , ось  направлена по нормали к основанию, а ось  образует с осями ,  правую тройку. Аналогично, свяжем с платформой систему координат  (рисунок 2.2).

 

 

Рисунок 2.2 - Системы координат ,

 

Тогда положение шарниров  в системе координат  определяется векторами

Аналогично, положение шарниров  в системе координат  определяется векторами

Положение платформы относительно основания зададим углами Эйлера  (рисунок 2.3).

Тогда геометрические соотношения между системами координат ,  можно представить в виде () матрицы однородных преобразований

.

 

 

Рисунок 2.3 - К преобразованию систем координат

 

Таким образом, положение шарнира  в системе координат  определяется вектором

.

Отсюда следует, что обобщенная координата , как функция углов  определяется выражением

,                                  (2.1)

где одну из величин  следует трактовать, как избыточную обобщенную координату.

            Выражения для скоростей и ускорений концов штанг  (точек ) легко найти, дифференцируя и дважды дифференцируя по  выражение (2.1) соответственно. Однако эти выражения оказываются слишком громоздкими и мало пригодными для практического использования. Исследование скоростей и ускорений концов штанг  проще производить с помощью математического моделирования, например, с использованием программной системы MatLab (см. ниже).

            2.3 Динамика механизма. Поскольку поступательные движения платформы отсутствуют, уравнения движения платформы будем искать в форме уравнений Лагранжа

,                                                (2.2)

где  - кинетическая энергия системы;  - обобщенная сила, соответствующая -ой обобщенной координате.

            Положим, что платформа, как твердое тело, симметрична относительно оси , так что ее моменты инерции  равны: . В таком случае ее кинетическая энергия равна

.                                                 (2.3)

            Положим, что поступательная кинематическая пара, связанная со штангой  является пассивной. Выпишем силы, действующие на платформу, а также радиусы-векторы ,  точек их приложения в проекциях на оси системы координат :

;

;

.

Здесь  - косинус угла между штангой  и единичным вектором -ой оси системы координат . Из определения скалярного произведения векторов легко получить явные выражения для косинуса этого угла:

            Таким образом, выражения для обобщенных сил  имеют вид

,

.

или

                                            (2.4)

.                                                         (2.5)

            Подставляя выражение (2.3) - (2.5) в уравнение (2.2), получим искомую систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

                                  (2.6)

            Заметим, что в уравнении (2.6) силы ,  - это внешние силы, которые могут быть заданы как функции времени, как функции обобщенной координаты , а также как функции длин «своих» стрежней , . Наоборот, при заданном законе изменения  из уравнения (2.6) могут быть найдены необходимые управляющие силы, как функции времени.

 

         3 Кинематика и динамика трипода с тремя степенями свободы

            Обратная задача кинематики для данного трипода рассмотрена в разделе 2. Перейдем поэтому к рассмотрению прямой задачи кинематики.

            3.2 Прямая задача кинематики. Пусть невесомые стержни ,  состоят из двух полуштанг, связанных поступательными кинематическими парами, присоединены к платформе в точках  с помощью сферических шарниров, а к основанию в точках  - с помощью универсальных шарниров; невесомый стержень , состоящий аналогично из двух полуштанг, связан с основанием неподвижно, а с платформой – с помощью универсального шарнира (рисунок 3.1). Точки  образуют правильный треугольник со стороной  и с центром в точке B, в которой находится центр масс платформы. Будем считать, что неподвижная платформа (основание) горизонтальна и точки  также образуют правильный треугольник со стороной aи с центром в точке A. Опорные стержни  имеют длины ,  и наклонены к плоскости основания под углами , (). Расстояние между точкой  и основанием (плоскостью ) обозначим . Введем также следующие обозначения: ; .

            Свяжем с основанием систему координат  таким образом, что начало координат A совпадает с центром симметрии основания, ось  проходит через шарнир , ось  направлена по нормали к основанию, а ось  образует с осями ,  правую тройку. Аналогично, свяжем с платформой систему координат  (рисунок 3.1).

 

 

Рисунок 3.1 - Геометрия трипода с тремя степенями свободы

 

Положение шарниров  в системе координат  определяется векторами

                                               (3.1)

Аналогично, положение шарниров  в системе координат  определяется векторами

                                                 (3.2)

Положение платформы относительно основания определяется углами Эйлера  (рисунок 2.3) и вектором . Поэтому геометрические соотношения между системами координат ,  можно представить в виде () матрицы однородных преобразований

.                (3.3)

Из выражений (3.1) – (3.3) следует, что положение шарнира  в системе координат  определяется вектором

,                                  (3.4)

где

  

            Из формул (3.1), (3.4) следует, что обобщенная координата , как функция расстояния  и углов  определяется выражением

,                              (3.5)

            Выражения для скоростей и ускорений концов штанг  (точек ) легко найти, дифференцируя и дважды дифференцируя по  выражения (3.5) соответственно. Однако эти выражения оказываются слишком громоздкими и мало пригодными для практического использования. Исследование скоростей и ускорений концов штанг  проще производить с помощью математического моделирования, например, с использованием программной системы MatLab.

         3.2 Динамика механизма.По методике подраздела 2.3 найдем уравнения движения платформы в форме уравнений Лагранжа

, ,3,                                            (3.6)

где  - кинетическая энергия системы; , ,  - обобщенные координаты;  - обобщенная сила, соответствующая -ой обобщенной координате.

            Положим, что платформа, как твердое тело, симметрична относительно оси , так что ее моменты инерции  равны:  (рисунок 3.2).

 

 

Рисунок 3.2 – Силы, действующие на платформу

 

            Массу платформы обозначим . В таком случае ее кинетическая энергия равна

 

,                                                 (3.7)

где  - величина полной скорости центра масс платформы .

            Поскольку в системе координат  вектор скорости , эта величина равна (рисунок 3.2).

            Выпишем силы, действующие на платформу, а также радиусы-векторы , ,  точек их приложения в проекциях на оси системы координат :

;        ;                    (3.8)

,           .                            (3.9)

Здесь аналогично подразделу 2.3

.

      Нам далее понадобятся матрицы Якоби  векторов , . Из выражения для вектора  следует, что компоненты матрицы  определяются формулами

, , ;

, , ;

, , .

Аналогично, из выражения для вектора  следуют выражения для компонентов матрицы :

, , ;

, , ;

, , .

По такой же схеме из выражений для вектора  вытекают выражения для компонентов матрицы :

, , ;

, , ;

, , .

 

            Составим выражение для работы на элементарных приращениях и, в соответствии с методикой составления уравнений Лагранжа, приравняем его нулю:

.                            (3.10)

Здесь

, , .                          

            Из выражений для компонентов матриц ,  следует, что

,

,

.

            Таким образом, учитывая (3.8), (3.9), из (3.10) имеем

+

+

=0.    (3.11)

            Приравнивая в выражении (3.11) коэффициенты при независимых приращениях , получим следующие значения обобщенных сил:

;                                        (3.12)

                (3.13)

       (3.14)

            Подставляя выражения (3.12) – (3.14) в формулу (3.7), получим искомую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                     (3.15)

                (3.16)

    (3.17)

            В уравнениях (3.15) – (3.17) силы  - это внешние (управляющие) силы, которые могут быть заданы как функции времени, как функции обобщенных координат , а также как функции длин «своих» стрежней . Наоборот, при заданных законах изменения величин  из этих уравнений могут быть найдены необходимые управляющие силы, как функции времени.

 

4 MatLab моделирование кинематики и динамики трипода с двумя степенями свободы

            Для проектирования и анализа механических систем (например, различных кинематических цепей) в рамках программной системы MatLab сущестует пакет SimMechanics - расширение модуля Simulink для физического моделирования. Пакет SimMechanics содержит набор инструментов для задания параметров кинематических звеньев механической системы (масса, моменты инерции, геометрические параметры), кинематических ограничений, локальных систем координат, способов задания и измерения движений. SimMechanics позволяет создавать модели механических систем подобно другим Simulink-моделям в виде блок-схем. Встроенные дополнительные инструменты визуализации Simulink позволяют получить упрощенные изображения трехмерных механизмов, как в статике, так и в динамике [3].

            Модуль Simulink позволяет визуализировать движения моделируемой механической системы. Кроме того, модуль Simulink позволяет анализировать законы движения любой точки моделируемого механизма. Для этого необходимо к выходу соответствующего Simulink-блока подключить датчик - Sensor. Датчики могут регистрировать угловые и линейные перемещения, а также соответствующие скорости и ускорение. Выход датчика обычно соединяют с «осциллографом» - Scope.

            Simulink-модель указанного трипода приведена на рисунке 4.1. Для наглядности на рисунке не показаны датчики и «осциллографы». Приняты следующие обозначения: 1 – платформа; 2 – подвижная штанга; 3 – неподвижная штанга; 4 – сферический шарнир; 5 – верхняя полуштанга; 6 – призматическая кинематическая связь; 7 – нижняя полуштанга; 8 – шарнир Гука (карданный шарнир).

            Simulink-модель рассматриваемого трипода с датчиками и «осциллографами» приведена на рисунке 4.2. Здесь использованы обозначения: 1 – блок регистрации перемещений, скоростей и ускорений платформы; 2 – блок измерения координат; 3 -блок измерения скоростей; 4 – блок измерения ускорений; 5 – блок актуатора штанги, обеспечивающего изменение ее длины; 6 – блок связи.

            Использованные в модели средства визуализации движения представлены на рисунке 4.3.

            Тестирование модели выполнено при изменении длины одной и его подвижных штанг по закону, представленному на рисунке 4.4. В этом случае, очевидно, ускорение движения этой штанги постоянно; длина изменяется от величины  до величины .

            Формирование приведенного на рисунке 4.4 закона движения штанги выполнено с помощью блока Simulink-модели трипода, схема которого приведена на рисунке 4.5. Здесь приняты следующие обозначения: 1 – блок формирования перемещения штанги; 2 – блок измерения скорости перемещения штанги; 3 – блок измерения ускорения перемещения штанги.

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4.2 – Полная Simulink-модель трипода с двумя степенями свободы

 

Рисунок 4.3 - Визуализации движения гексапода (фрагмент)

Рисунок 4.4 – Тестовый закон изменения длины одной из штанг трипода

 

 

Рисунок 4.5 – Simulink-модель блока, формирующего тестовый закон изменения длины штанги

 

 

Заключение

            На основе анализа требуемых движений манипулятора типа «хобот» произведен выбор вариантов конструктивных схема секций манипулятора - трипода с центральной неподвижной штангой, классического трипода, гексапода с центральной неподвижной штангой и классического гексапода. С помощью формул Грюблера и Сомова-Малышева выполнен анализ числа степеней свободы указанных конструктивных схема секций манипулятора.

            Для трипода с двумя степенями свободы получены следующие результаты: решена обратная задача кинематики; решена прямая задача кинематики - получены уравнения, определяющие длины штанг, как функции обобщенных координат (двух углов поворота платформы); разработана математическая модель динамики механизма в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат.

            Аналогичные результаты получены для трипода с тремя степенями свободы.

            Кроме того, для трипода с двумя степенями свободы разработана Simulink-модель его кинематики и динамики. Тестовые эксперименты с указанной моделью показали ее адекватность.

            Полученные в работе результаты представляют самостоятельный интерес, а также могут быть использованы для построения математических моделей многосекционного робота-манипулятора типа «хобот».

 

Литература

1                   ; Подураев Ю.В. Мехатроника: основы, методы, применение. – М.: Машиностроение, 2007. – 256 с.

2                   ; J.P.Merlet. Parallel Robots. Solid mechanics and its applications. - Kluwer Academic Publishers, V. 74, 2000.

3                   ; Махов А.А. Моделирование механических систем с помощью пакета расширения SimMechanics / http://exponenta.ru/educat/systemat/mahov/simmechanics.asp

 

Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2019 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)