Тришина Наталия Евгеньевна

Статья содержит описание расслоений, порожденных ассоциативными унитальными алгебрами 3-го и 4-го порядков. Таких алгебр 6 типов 3-го порядка и 23 типа 4-го порядка. Большинство этих расслоений тривиальны. Одиннадцать расслоений, определяемых алгебрами, локально тривиальны. Все они приведены в статье. Статья содержит подробное описание расслоений, определяемых алгебрами кватернионов, антикватернионов и полукватернионов. Для алгебры кватернионов рассматривается расслоение,соответствующее подалгебе комплексных чисел. Подрасслоение этого расслоения изоморфно расслоению Хопфа. Известно, что алгебра антикватернионов содержит все три типа подалгебр второго порядка - комплексных, двойных и дуальных чисел. Расслоение, отвечающее подалгебре комплексных чисел - тривиально, а расслоения, получающиеся с помощью алгебр двойных и дуальных чисел - локально тривиальны. Их можно рассматривать, как аналоги расслоения Хопфа для неевклидовой геометрии. Алгебра полукватернионов содержит 2-подалгебры комплексных, дуальных чисел и одну 3-подалгебру. Расслоение, определяемое подалгеброй комплексных чисел тривиально. Расслоения, определяемые подалгеброй дуальных чисел и 3-подалгеброй локально тривиальны.

Статья посвящена проблеме поиска решений уравнений Максвелла без источников в пространстве-времени с алгебраически-специальной метрикой. Предполагается, что пространство-время допускает бессдвиговую конгруэнцию изотропных геодезических, причем луч конгруэнции соответствует кратному главному изотропному направлению тензора конформной кривизны Вейля. Решение уравнений Максвелла для тензора напряженности поля выражено через скалярный комплексный потенциал Дебая, удовлетворяющий уравнению второго порядка. Это уравнение получено с помощью двух-компонентного спинорного исчисления и ковариантных спинорных операторов. Уравнение для потенциала Дебая записано в ковариантной форме с использованием комплексного вектора Соммерса, естественным образом определенного бессдвиговой конгруэнцией. Ранее уравнение для потенциала Дебая в пространствах-временах этого же вида было получено с помощью спиновых коэффициентов в адаптированном базисе в формализме Ньюмена-Пенроуза. Результат работы может быть использован при поиске точных решений уравнений Максвелла без источников в алгебраически-специальных пространствах общей теории относительности.