Толченников Антон Александрович

Рассматривается дискретная задача о движении точек на метрическом графе, связанная с задачей об изучении статистики гауссовых пакетов на пространственной сети, возникающая при рассмотрении задачи Коши для нестационарного уравнения Шрёдингера. Для произвольного конечного компактного графа-дерева получено представление для числа точек, возникающих в начальной вершине. На примере одного графа найдено количество движущихся по графу точек в виде суммы количества решений нестрогих линейных неравенств. Найден старший член разности количества точек, движущихся по графам, которые получены разными сборками ребер и найден старший член симметрической разности числа движущихся точек.

Рассматриваются вопросы, касающиеся  описания статистики поведения гауссовых пакетов на геометрическом графе. Квазиклассическая асимптотика для решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера, с начальными данными, сконцентрированными в окрестности одной точки на ребре,  порождает классическую динамическую систему на графе. В случае линейно независимых над полем рациональных чисел времен прохождения ребер, описание поведения такой системы оказывается связано с теоретико-числовой задачей подсчета числа целых точек в расширяющемся многограннике.  Доказывается, что для конечного компактного графа пакеты почти всегда распределяются равномерно. Найдена формула для старшего коэффициента асимптотики числа пакета при росте времени. Также обсуждаются ситуации, когда времена прохождения ребер не являются линейно независимыми над полем рациональных чисел.